84. Nastavení granátometu

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Toto je praktická aplikace inverzního problému balistiky! Podobné výpočty používají hasiči pro nastavení vodních proudů při hašení požárů, zahradníci pro zavlažovací systémy, architekti pro design fontán ve městech, nebo sportovci při házení koulí na požadovanou vzdálenost. V civilních aplikacích jde o přesné nastavení vodometů, trysek, nebo dokonce vrhačů míčků pro psy v parcích.

Zadání

V jedné z řady dalších nesmyslných válek má neznámý vojín za úkol nastavit hlaveň granátometu tak, aby granát dopadl do vzdálenosti 400 m, přičemž ví, že úsťová rychlost výstřelu je 100 m·s⁻¹. Pod jakým úhlem vůči svislému směru je třeba hlaveň nastavit? Řešte nejprve obecně.

1. Analýza inverzního problému

💭 Logika výběru: Máme "obrácenou" situaci - známe požadovaný dostřel a rychlost, hledáme úhel. Jde o řešení transcendentní rovnice s goniometrickými funkcemi. Klíčové je rozpoznat, že existují dvě řešení!
⚠️ Kritické upozornění!
  • Pozor na záměnu úhlu vůči svislici vs. vůči horizontále - liší se o 90°!
  • Pro každý dostřel (kromě maximálního) existují DVA úhly - nižší a vyšší trajektorie
  • Vojín musí zkontrolovat, zda je požadovaný dostřel vůbec dosažitelný
📝 Dané hodnoty:
  • Požadovaný dostřel: $d = 400$ m
  • Úsťová rychlost: $v_0 = 100$ m·s⁻¹
  • Gravitační zrychlení: $g = 9{,}81$ m·s⁻² (použijeme 10 m·s⁻²)
  • Podmínky: vakuum, stejná výška startu a dopadu
  • Hledáme: úhel $\beta$ vůči svislici

2. Kontrola dosažitelnosti cíle

🎯 Proč kontrolovat? Před řešením musíme ověřit, zda je požadovaný dostřel vůbec fyzikálně možný. Maximální dostřel je při 45° a má hodnotu v₀²/g. Pokud požadujeme více, úloha nemá řešení!

Maximální možný dostřel:

$$d_{max} = \frac{v_0^2}{g} = \frac{100^2}{10} = \frac{10000}{10} = 1000 \text{ m}$$ Kontrola dosažitelnosti: $$d = 400 \text{ m} < d_{max} = 1000 \text{ m} \quad \checkmark$$

Cíl je dosažitelný, existují dvě řešení!

🎯 Praktická analogie: Je to jako házet míčem do koše - můžete ho hodit "přímou" nízkou trajektorií nebo "obloukovou" vysokou trajektorií. Obě cesty vedou do stejného cíle, ale liší se časem letu a maximální výškou.

3. Řešení transcendentní rovnice

💡 Užitečná rada: Ze vzorce pro dostřel vyjádříme sin(2α) a použijeme inverzní goniometrickou funkci arcsin. Nezapomeňte, že arcsin má dva úhly v intervalu 0°-180°!

Odvození vzorce pro úhel:

Ze vzorce pro dostřel: $$d = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$ Řešení pro sin(2α): $$\sin(2\alpha) = \frac{dg}{v_0^2} = \frac{400 \times 10}{100^2} = \frac{4000}{10000} = 0{,}4$$ Inverzní goniometrická funkce: $$2\alpha = \arcsin(0{,}4)$$
🔍 Výpočet arcsin pomocí kalkulačky

$\arcsin(0{,}4) = 23{,}58°$ (principal value)

Druhé řešení: $180° - 23{,}58° = 156{,}42°$

Takže $2\alpha_1 = 23{,}58°$ a $2\alpha_2 = 156{,}42°$

4. Výpočet obou úhlů

Dva úhly vůči horizontále:

První řešení (nižší trajektorie): $$2\alpha_1 = \arcsin(0{,}4) = 23{,}58°$$ $$\alpha_1 = 11{,}79° \approx 11{,}8°$$ Druhé řešení (vyšší trajektorie): $$2\alpha_2 = 180° - 23{,}58° = 156{,}42°$$ $$\alpha_2 = 78{,}21° \approx 78{,}2°$$

Převod na úhly vůči svislici:

Pro nižší trajektorii: $$\beta_1 = 90° - \alpha_1 = 90° - 11{,}8° = 78{,}2°$$ Pro vyšší trajektorii: $$\beta_2 = 90° - \alpha_2 = 90° - 78{,}2° = 11{,}8°$$

5. Výběr optimální trajektorie a bezpečnost

🎯 Kompletní odpověď:
  • Řešení 1 (nízká trajektorie): $\beta_1 = 78{,}2°$ vůči svislici
  • Řešení 2 (vysoká trajektorie): $\beta_2 = 11{,}8°$ vůči svislici
Vojenské doporučení:

Vojín by měl volit nižší trajektorii (78,2° od svislice) - kratší doba letu, menší odhalení pozice, menší vliv větru.

🔍 Kontrola výsledků:

Ověření dosazením zpět:

  • $d_1 = \frac{100^2 \sin(2 \times 11{,}8°)}{10} = \frac{10000 \sin(23{,}6°)}{10} = 1000 \times 0{,}4 = 400$ m ✓
  • $d_2 = \frac{100^2 \sin(2 \times 78{,}2°)}{10} = \frac{10000 \sin(156{,}4°)}{10} = 1000 \times 0{,}4 = 400$ m ✓
🔄 Porovnání obou trajektorií:
Vlastnost Nízká (78,2°) Vysoká (11,8°)
Doba letu Kratší Delší
Max. výška Nižší Vyšší
Taktická výhoda Rychlý zásah Překonání překážek
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč existují právě dva úhly pro jeden dostřel a kdy by vojín volil který?
  • Co by se stalo, kdyby požadovaný dostřel byl přesně 1000 m (maximum)? Kolik by bylo řešení?
  • Jak by se lišily obě řešení z hlediska doby letu a maximální výšky?
  • Jaké praktické výhody má nižší vs. vyšší trajektorie v reálném boji?
  • Jak by se změnily úhly při střelbě z kopce dolů nebo ze svahu nahoru?