83. Optimální úhel pro maximální dostřel

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Optimální úhel 45° je klíčový ve mnoha oblastech - od vojenské balistiky a dělostřelectva až po atletiku (hod kladivem, koulí) a rekreační sporty (golf, lukostřelba). Hasiči používají tento princip pro nastavení vodních proudů, architekti pro design fontán, a dokonce i pes intuitivně hází míček pod úhlem blízkým 45°. Pochopení optimalizace trajektorie je základem moderní robotiky a kosmonautiky.

Zadání

Pod jakým úhlem je potřeba vystřelit, aby střela dopadla co nejdál? Tedy pro danou počáteční rychlost se snažíme najít úhel výstřelu vůči zemi, aby byl dostřel maximální.

1. Analýza optimalizačního problému

💭 Logika výběru: Hledáme optimum funkce dostřelu d(α), kde α je úhel vůči horizontále. Jde o klasický problém matematické optimalizace - najít maximum funkce jedné proměnné pomocí derivace.
⚠️ Časté mylné představy! Mnoho lidí si myslí, že čím vyšší úhel, tím větší dostřel. Opak je pravda - existuje optimální kompromis mezi horizontální složkou (určuje "sílu dopředu") a vertikální složkou (určuje "dobu letu").
📝 Dané parametry:
  • Počáteční rychlost: $v_0$ (konstantní, daná)
  • Gravitační zrychlení: $g$ (konstantní)
  • Úhel výstřelu: $\alpha$ (proměnná, kterou optimalizujeme)
  • Podmínky: vakuum, start i dopad ve stejné výšce
  • Hledáme: úhel $\alpha_{opt}$ pro maximální dostřel

2. Odvození vzorce pro dostřel

🎯 Proč tato cesta? Nejdříve odvodíme obecný vzorec pro dostřel jako funkci úhlu, pak najdeme jeho maximum pomocí diferenciálního počtu. Je to elegantní kombinace fyziky a matematiky.
Parametrické rovnice šikmého vrhu: $$x(t) = v_0 \cos \alpha \cdot t$$ $$y(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$ Podmínka dopadu (y = 0): $$0 = v_0 \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$ $$t(v_0 \sin \alpha - \frac{1}{2}gt) = 0$$ $$t = 0 \text{ nebo } t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$$
🎪 Praktická analogie: Představte si cirkusového akrobata vystřelovaného z děla. Pokud letí příliš vysoko (90°), neletí daleko. Pokud letí příliš nízko (0°), taky neletí daleko. Existuje "zlatý střed", kde kombinace výšky a rychlosti dopředu dává nejlepší výsledek.

3. Obecný vzorec pro dostřel

💡 Užitečná rada: Při odvozování využijeme goniometrickou identitu 2sinα·cosα = sin(2α). Tato identita dramaticky zjednoduší optimalizaci, protože převede složitou funkci dvou goniometrických funkcí na jednoduchou funkci jedné.

Dosazení času letu do vzorce pro dostřel:

$$d = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{2v_0^2 \cos \alpha \sin \alpha}{g}$$ Použitím goniometrické identity: $$2 \cos \alpha \sin \alpha = \sin(2\alpha)$$ Finální vzorec pro dostřel: $$d(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$$
🔍 Odvození goniometrické identity

Identita $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ plyne ze vzorce pro sinus dvojnásobného úhlu:

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

Pro $A = B = \alpha$: $\sin(2\alpha) = \sin(\alpha + \alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

4. Optimalizace - hledání maxima

Nalezení maxima funkce d(α):

Maximum funkce sinus: $$d(\alpha) = \frac{v_0^2}{g} \sin(2\alpha)$$

Funkce sinus dosahuje svého maxima (hodnoty 1) pro argument:

$$2\alpha = 90° = \frac{\pi}{2}$$ $$\alpha = 45° = \frac{\pi}{4}$$ Maximální dostřel: $$d_{max} = \frac{v_0^2 \sin(90°)}{g} = \frac{v_0^2}{g}$$
🔄 Alternativní odvození derivováním:

$\frac{dd}{d\alpha} = \frac{v_0^2}{g} \cdot 2\cos(2\alpha) = 0$

$\cos(2\alpha) = 0 \Rightarrow 2\alpha = 90° \Rightarrow \alpha = 45°$

Druhá derivace: $\frac{d^2d}{d\alpha^2} = -\frac{2v_0^2}{g}\sin(2\alpha) < 0$ pro $\alpha = 45°$ → je to maximum ✓

5. Fyzikální interpretace a důsledky

🎯 Kompletní odpověď:
  • Optimální úhel: $\alpha_{opt} = 45°$
  • Maximální dostřel: $d_{max} = \frac{v_0^2}{g}$
  • Fyzikální interpretace: 45° dokonale vyvažuje horizontální a vertikální složky
Srovnání složek při α = 45°:

$v_{0x} = v_0\cos(45°) = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$ a $v_{0y} = v_0\sin(45°) = \frac{v_0}{\sqrt{2}}$

Horizontální a vertikální složky jsou stejné!

🔍 Kontrola rozumnosti:
  • Pro $\alpha = 0°$: $d = 0$ (střela letí vodorovně, okamžitě dopadne) ✓
  • Pro $\alpha = 90°$: $d = 0$ (střela letí svisle, dopadne na místě) ✓
  • Pro $\alpha = 30°$: $d = \frac{v_0^2\sin(60°)}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 0{,}866}{g} < \frac{v_0^2}{g}$ ✓
  • Maximální dostřel při 45° je větší než při jakémkoli jiném úhlu ✓
🎲 Fyzikální význam 45°:

Proč právě 45°? Je to kompromis mezi dvěma extrémy:

  • Malý úhel (< 45°): Velká horizontální rychlost, ale malá doba letu
  • Velký úhel (> 45°): Dlouhá doba letu, ale malá horizontální rychlost
  • 45°: Optimální kombinace obou faktorů
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil optimální úhel při střelbě z kopce dolů? Byl by stále 45°?
  • Proč golfisté často střílejí pod úhlem vyšším než 45° přes překážky? Contradicts to náš výsledek?
  • Jak by odpor vzduchu ovlivnil optimální úhel? Posunul by ho nahoru nebo dolů?
  • Můžeme tento princip aplikovat na výstřely z různých výšek nebo jen ze "země na zem"?
  • Proč má vzorec pro maximální dostřel tvar v₀²/g? Co to říká o vlivu rychlosti vs. gravitace?