81. Martin humanitární letec

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Humanitární pomoc ze vzduchu zachraňuje životy při přírodních katastrofách! Piloti Červeného kříže, OSN nebo armády musí přesně vypočítat, kde vypustit zásoby, aby dopadly na správné místo. Tato fyzika se používá i při hašení požárů z letadel, při výsadcích nebo při shazování potravin do nedostupných oblastí. Chyba v výpočtu může znamenat ztrátu drahocenných zásob.

Zadání

Martin se stal humanitárním letcem, který z letadla shazuje balíky plné čokolády. Letí ve výšce 200 m nad zemí rychlostí 60 m·s⁻¹. Míří na matraci umístěnou na zemi. V jaké vzdálenosti před matrací musí balík vypustit?

1. Analýza situace a bezpečnostní aspekty

💭 Logika výběru: Jedná se o klasický vodorovný vrh - balík má stejnou horizontální rychlost jako letadlo a současně padá volným pádem. Balík se nepohybuje vzhledem k letadlu vodorovně, ale gravitace způsobuje vertikální pád.
⚠️ Bezpečnostní upozornění! Při reálném shazování musí pilot zohlednit vítr, odpor vzduchu, rotaci Země a hmotnost nákladu. Chyba může způsobit nebezpečí pro lidi na zemi. Humanitární mise vyžadují přesné calculace!
📝 Dané hodnoty:
  • Výška letu: $h = 200$ m
  • Rychlost letadla: $v_0 = 60$ m·s⁻¹ (horizontální)
  • Počáteční vertikální rychlost: $v_{0y} = 0$ (vodorovný vrh)
  • Gravitační zrychlení: $g = 10$ m·s⁻²
  • Hledáme: vzdálenost před cílem $d$

2. Výběr kinematických rovnic

🎯 Proč tyto rovnice? Vodorovný vrh kombinuje rovnoměrný horizontální pohyb (konstantní rychlost) s volným vertikálním pádem (konstantní zrychlení). Tyto pohyby jsou nezávislé - můžeme je řešit odděleně.
Z obecného odvození vodorovného vrhu: $$d = v_0 \sqrt{\frac{2h}{g}}$$ Nebo rozložením na komponenty: $$d = v_0 \cdot t \quad \text{a} \quad h = \frac{1}{2}gt^2$$
🛩️ Praktická analogie: Je to jako házet míč z jedoucího vlaku. Míč má stále rychlost vlaku dopředu, ale současně padá dolů kvůli gravitaci. Z pohledu člověka na nástupišti míč letí po křivce, ale z pohledu pasažéra ve vlaku míč padá přímo dolů.

3. Výpočet doby pádu

💡 Užitečná rada: Nejdřív spočítejte dobu pádu z vertikálního pohybu, pak použijte tuto dobu pro horizontální vzdálenost. Doba pádu nezávisí na horizontální rychlosti!

Doba pádu z výšky 200 m:

$$h = \frac{1}{2}gt^2$$ $$200 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$$ $$200 = 5t^2$$ $$t^2 = 40$$ $$t = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32 \text{ s}$$
🔍 Přesný výpočet odmocniny

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$

$\sqrt{10} \approx 3{,}162$, takže $t = 2 \times 3{,}162 = 6{,}324$ s

4. Výpočet horizontální vzdálenosti

Vzdálenost při konstantní horizontální rychlosti:

$$d = v_0 \times t = 60 \times 6{,}32 = 379{,}2 \text{ m}$$
📍 Odpověď: Balík musí být vypuštěn ve vzdálenosti 380 m před matrací. Přesný výpočet: $$d = 60 \sqrt{\frac{2 \times 200}{10}} = 60 \sqrt{40} = 60 \times 2\sqrt{10} = 120\sqrt{10} \approx 379{,}4 \text{ m}$$
🔍 Kontrola rozumnosti:
  • Vzdálenost 380 m je téměř dvojnásobek výšky (200 m) - to je logické pro rychlost 60 m·s⁻¹
  • Za 6,3 sekundy letu ujede letadlo 60 × 6,3 = 378 m - souhlasí! ✓
  • Poměr vzdálenost/výška = 380/200 = 1,9 - rozumné pro tuto rychlost
🔄 Alternativní ověření:

Můžeme použít přímý vzorec pro vodorovný vrh: $d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} = 60\sqrt{\frac{400}{10}} = 60\sqrt{40} = 60 \times 6{,}325 = 379{,}5$ m ✓

Nebo energeticky: čas pádu odpovídá převodu potenciální energie na kinetickou: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je vzdálenost skoro dvojnásobek výšky letu? Co to říká o poměru horizontální rychlosti a doby pádu?
  • Jak by se změnila vzdálenost při dvojnásobné rychlosti (120 m·s⁻¹)? Byla by 2× nebo 4× větší?
  • Jaký vliv na přesnost mají reálné faktory jako vítr, odpor vzduchu a rotace Země?
  • Jaké další bezpečnostní faktory musí pilot zohlednit při humanitárních misích?
  • Proč je důležité shazovat balíky s padákem? Jak by se změnila kinematika s padákem?