79. Tomášův mobilní telefon do vody
Kinematika - řešený příklad
Zadání
Tomáš si chce vylít zlost, a proto si stoupnul na horní okraj lomu a mrštil svým mobilním telefonem vodorovným směrem do vody s počáteční rychlostí 18 m·s⁻¹. Mobil po chvilce dopadl 45 m horizontálně před něj do vody. Odpor vzduchu zanedbáme, uvažujme g = 10 m·s⁻².
a) Jakou dobu mobil letěl?
b) Jak vysoko je okraj lomu nad hladinou?
c) Jakou velikost měla svislá složka dopadové rychlosti?
d) Jakou celkovou velikost měla dopadová rychlost a jaký svírala úhel s hladinou?
Řešení
1. Analýza situace a zadané hodnoty
- Počáteční horizontální rychlost: $v_{0x} = 18$ m·s⁻¹
- Počáteční vertikální rychlost: $v_{0y} = 0$ m·s⁻¹
- Horizontální dosah: $d = 45$ m
- Gravitační zrychlení: $g = 10$ m·s⁻²
- Hledáme: a) čas letu, b) výšku, c) $v_y$, d) $v_{celk}$ a úhel
2. Výběr fyzikálních rovnic
Horizontální pohyb (rovnoměrný):
$$x = v_{0x} \cdot t$$Vertikální pohyb (volný pád):
$$y = \frac{1}{2}gt^2$$Vertikální rychlost:
$$v_y = gt$$3. Část a) - Doba letu
Z horizontálního pohybu:
$$t = \frac{d}{v_{0x}} = \frac{45 \text{ m}}{18 \text{ m·s⁻¹}} = 2{,}5 \text{ s}$$Odpověď a): Mobil letěl 2,5 s
4. Část b) - Výška lomu
Známe-li čas letu, můžeme vypočítat výšku z vertikálního pohybu:
$$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2{,}5)^2 = 5 \times 6{,}25 = 31{,}25 \text{ m}$$Odpověď b): Okraj lomu je ve výšce 31,25 m
5. Část c) - Svislá složka dopadové rychlosti
Vertikální rychlost při dopadu:
$$v_y = gt = 10 \times 2{,}5 = 25 \text{ m·s⁻¹}$$Odpověď c): Svislá složka dopadové rychlosti je 25 m·s⁻¹
6. Část d) - Celková dopadová rychlost a úhel
Celková rychlost:
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{18^2 + 25^2} = \sqrt{324 + 625} = \sqrt{949} = 30{,}8 \text{ m·s⁻¹}$$Úhel s horizontálou:
$$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{25}{18} = 1{,}39$$ $$\alpha = \arctan(1{,}39) = 54°$$Odpověď d): Celková dopadová rychlost je 30,8 m·s⁻¹ pod úhlem 54° k hladině
7. Kontrola a shrnutí
- a) Doba letu: 2,5 s
- b) Výška lomu: 31,25 m
- c) Svislá složka rychlosti: 25 m·s⁻¹
- d) Celková rychlost: 30,8 m·s⁻¹ pod úhlem 54°
- Doba letu 2,5 s je realistická pro vrh z výšky 31 m
- Výška 31 m odpovídá přibližně desetipatrovému domu
- Dopadová rychlost 111 km·h⁻¹ je značná, ale odpovídá pádu z této výšky
- Úhel 54° znamená, že telefon dopadá strmě dolů
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč zůstává horizontální rychlost konstantní během celého letu? Co by se změnilo s odporem vzduchu?
- Jak by se změnila trajektorie, kdyby Tomáš hodil telefon šikmo nahoru místo vodorovně?
- Jaký vliv má výška vrhu na horizontální dosah při stejné počáteční rychlosti?
- Jak bys vyřešil podobný problém, kdyby telefon dopadl do vody 2 sekundy po hodu?
- Proč je úhel dopadu strmější než úhel výhozu (který byl 0°)? Co to říká o trajektorii?