79. Tomášův mobilní telefon do vody

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Vodorovný vrh je všude kolem nás! Když skáčete z píru do vody, míč vypadne z okna, nebo když pilot shazuje záchranný balík. Pochopení tohoto pohybu je klíčové pro ballistiku, sport i každodenní život.

Zadání

Tomáš si chce vylít zlost, a proto si stoupnul na horní okraj lomu a mrštil svým mobilním telefonem vodorovným směrem do vody s počáteční rychlostí 18 m·s⁻¹. Mobil po chvilce dopadl 45 m horizontálně před něj do vody. Odpor vzduchu zanedbáme, uvažujme g = 10 m·s⁻².

a) Jakou dobu mobil letěl?

b) Jak vysoko je okraj lomu nad hladinou?

c) Jakou velikost měla svislá složka dopadové rychlosti?

d) Jakou celkovou velikost měla dopadová rychlost a jaký svírala úhel s hladinou?

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jde o vodorovný vrh - telefon má na začátku pouze horizontální rychlost, vertikální složka je nulová. Pohyb se skládá ze dvou nezávislých složek: horizontální rovnoměrný pohyb a vertikální volný pád.
Dané hodnoty:
  • Počáteční horizontální rychlost: $v_{0x} = 18$ m·s⁻¹
  • Počáteční vertikální rychlost: $v_{0y} = 0$ m·s⁻¹
  • Horizontální dosah: $d = 45$ m
  • Gravitační zrychlení: $g = 10$ m·s⁻²
  • Hledáme: a) čas letu, b) výšku, c) $v_y$, d) $v_{celk}$ a úhel
Častá chyba: Studenti zapomínají, že u vodorovného vrhu je počáteční vertikální rychlost nulová, ale horizontální rychlost zůstává konstantní po celou dobu letu.

2. Výběr fyzikálních rovnic

Proč rozdělit na složky? Vodorovný vrh řešíme jako složený pohyb - horizontální rovnoměrný a vertikální rovnoměrně zrychlený. Obě složky jsou nezávislé, ale probíhají současně.
Praktická analogie: Je to jako chůze a žvýkání současně - můžeš dělat obojí nezávisle, ale čas je společný. Horizontálně se telefon pohybuje rovnoměrně, vertikálně padá rychleji a rychleji.
Rovnice vodorovného vrhu:

Horizontální pohyb (rovnoměrný):

$$x = v_{0x} \cdot t$$

Vertikální pohyb (volný pád):

$$y = \frac{1}{2}gt^2$$

Vertikální rychlost:

$$v_y = gt$$

3. Část a) - Doba letu

Užitečný tip: Z horizontálního pohybu můžeme vypočítat čas letu, protože horizontální rychlost je konstantní a známe uletěnou vzdálenost.

Z horizontálního pohybu:

$$t = \frac{d}{v_{0x}} = \frac{45 \text{ m}}{18 \text{ m·s⁻¹}} = 2{,}5 \text{ s}$$

Odpověď a): Mobil letěl 2,5 s

4. Část b) - Výška lomu

Známe-li čas letu, můžeme vypočítat výšku z vertikálního pohybu:

$$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2{,}5)^2 = 5 \times 6{,}25 = 31{,}25 \text{ m}$$

Odpověď b): Okraj lomu je ve výšce 31,25 m

5. Část c) - Svislá složka dopadové rychlosti

Vertikální rychlost při dopadu:

$$v_y = gt = 10 \times 2{,}5 = 25 \text{ m·s⁻¹}$$

Odpověď c): Svislá složka dopadové rychlosti je 25 m·s⁻¹

6. Část d) - Celková dopadová rychlost a úhel

Proč Pythagorova věta? Horizontální a vertikální složky rychlosti jsou na sebe kolmé, takže celková rychlost je přeponou pravoúhlého trojúhelníka.

Celková rychlost:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{18^2 + 25^2} = \sqrt{324 + 625} = \sqrt{949} = 30{,}8 \text{ m·s⁻¹}$$

Úhel s horizontálou:

$$\tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} = \frac{25}{18} = 1{,}39$$ $$\alpha = \arctan(1{,}39) = 54°$$

Odpověď d): Celková dopadová rychlost je 30,8 m·s⁻¹ pod úhlem 54° k hladině

7. Kontrola a shrnutí

Všechny odpovědi:
  • a) Doba letu: 2,5 s
  • b) Výška lomu: 31,25 m
  • c) Svislá složka rychlosti: 25 m·s⁻¹
  • d) Celková rychlost: 30,8 m·s⁻¹ pod úhlem 54°
Kontrola rozumnosti:
  • Doba letu 2,5 s je realistická pro vrh z výšky 31 m
  • Výška 31 m odpovídá přibližně desetipatrovému domu
  • Dopadová rychlost 111 km·h⁻¹ je značná, ale odpovídá pádu z této výšky
  • Úhel 54° znamená, že telefon dopadá strmě dolů
Bezpečnostní poznámka: V realitě by odpor vzduchu mírně snížil dosah a rychlost. Navíc házení telefonu z takové výšky je nebezpečné pro lidi dole!
Alternativní kontrola: Můžeme ověřit výšku pomocí $v_y^2 = 2gh$: $h = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{625}{20} = 31{,}25$ m ✓
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč zůstává horizontální rychlost konstantní během celého letu? Co by se změnilo s odporem vzduchu?
  • Jak by se změnila trajektorie, kdyby Tomáš hodil telefon šikmo nahoru místo vodorovně?
  • Jaký vliv má výška vrhu na horizontální dosah při stejné počáteční rychlosti?
  • Jak bys vyřešil podobný problém, kdyby telefon dopadl do vody 2 sekundy po hodu?
  • Proč je úhel dopadu strmější než úhel výhozu (který byl 0°)? Co to říká o trajektorii?