78. Chybný graf hopíku

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Kritické myšlení a analýza grafů je klíčová dovednost ve vědě i technologii! Umět odhalit chyby ve vizualizacích dat je důležité pro inženýry, vědce i novináře. Nesprávné grafy mohou vést k chybným závěrům ve výzkumu, průmyslu nebo veřejné politice.

Zadání

V jinak dobré internetové cvičebnici Umímeto je uveden obrázek, který má znázorňovat závislost výšky hopíku na čase, když se odráží od podlahy. Co je v obrázku špatně? Jak by obrázek měl vypadat správně? Na základě čeho si snadno můžeme všimnout, že je špatně?

Popisný graf pro analýzu:

Představ si graf výšky h(t) s těmito charakteristikami:

  • První skok: maximum 300 cm, doba trvání ~1 s
  • Druhý skok: maximum 250 cm, doba trvání ~1 s (stejně jako první!)
  • Třetí skok: maximum 200 cm, doba trvání ~1 s (opět stejně!)
  • Všechny paraboly mají stejnou "strmost" při dopadu

Řešení

1. Analýza situace a fyzikální principy

Logika analýzy: Analyzujeme pohyb skákajícího hopíku s postupným útlumem. Každý skok je kombinace svislého vrhu nahoru a volného pádu dolů. Klíčové je rozpoznat, že čas závisí na odmocnině výšky, ne lineárně!
Co graf tvrdí:
  • První skok: $h_1 = 300$ cm (správně)
  • Druhý skok: $h_2 = 250$ cm (správně)
  • Čas podle grafu: každý skok trvá stejně dlouho (CHYBA!)
  • Strmost křivek: stejná pro všechny skoky (CHYBA!)
HLAVNÍ CHYBA: Poloviční výška NEZNAMENÁ poloviční čas! Čas je úměrný odmocnině výšky, ne výšce samotné.

2. Výběr fyzikálních rovnic

Proč tyto rovnice? Pro volný pád nebo svislý vrh platí kinematické rovnice s druhou mocninou času. To znamená, že čas je úměrný odmocnině vzdálenosti (výšky).
Praktická analogie: Je to jako při brzdné dráze auta - dvojnásobná rychlost neznamená dvojnásobnou brzdnou dráhu, ale čtyřnásobnou! Podobně u hopíku - poloviční výška neznamená poloviční čas.

Pro volný pád z výšky h:

$$t_{\text{pád}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Pro celkovou dobu skoku (nahoru i dolů):

$$t_{\text{celkem}} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

3. Správný výpočet časů

Užitečný tip: Převeď si vždy jednotky na základní (cm → m) a používej g = 10 m·s⁻² pro rychlé odhady.

První skok (h = 300 cm = 3 m):

$$t_1 = 2\sqrt{\frac{2 \times 3}{10}} = 2\sqrt{0{,}6} = 2 \times 0{,}775 = 1{,}55 \text{ s}$$

Druhý skok (h = 250 cm = 2,5 m):

$$t_2 = 2\sqrt{\frac{2 \times 2{,}5}{10}} = 2\sqrt{0{,}5} = 2 \times 0{,}707 = 1{,}41 \text{ s}$$

Poměr časů:

$$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}} = \sqrt{\frac{2{,}5}{3}} = \sqrt{0{,}833} = 0{,}91$$

4. Identifikace chyb v grafu

Hlavní chyby v původním grafu:
  • Nesprávné časy: Graf ukazuje konstantní dobu skoků (~1 s), ale správně by se časy měly zkracovat s odmocninou výšky
  • Nesprávná strmost: Prudkost křivky při dopadu zůstává stejná, ale měla by klesat s nižší dopadovou rychlostí
  • Fyzikální nekonzistence: Dopadová rychlost $v = \sqrt{2gh}$ klesá s výškou
Pozor na intuici: Naše intuice často očekává lineární závislosti, ale fyzika je plná mocninných vztahů. Přímá úměrnost platí pro $s = vt$, ale pro volný pád je $h = \frac{1}{2}gt^2$ - odmocninová závislost!

5. Jak by měl graf vypadat správně

Správný graf by měl mít:
  • Kratší časy: Každý další skok by měl trvat kratší dobu (podle odmocniny)
  • Klesající strmost: Prudkost křivek při dopadu se zmenšuje
  • Symetrické paraboly: Každý skok tvoří symetrickou parabolu vzhledem k maximu
  • Postupně se zkracující periody: $t_2 < t_1$, $t_3 < t_2$, atd.
Jak si chyby všimnout:
  • Kontrola fyzikálních rozměrů: $[t] = \sqrt{\frac{[m]}{[m \cdot s^{-2}]}} = s$ ✓
  • Srovnání s known vztahy (volný pád)
  • Intuitivní kontrola: nižší skok = kratší doba letu
Experimentální ověření: Nahraj si video skákajícího míčku a změř skutečné časy! Uvidíš, že se časy skutečně zkracují podle odmocniny výšky.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je důležité kontrolovat fyzikální rozměry v grafech? Jaké další chyby to může odhalit?
  • Jak by vypadal graf, kdyby hopík ztrácel přesně 50% energie při každém odrazu? A při 30%?
  • Jaké další fyzikální grafy mohou obsahovat podobné chyby? (Nápověda: brzdná dráha vs. rychlost)
  • Jak bys ověřil správnost grafu experimentálně pomocí mobilu a videoanalýzy?
  • Proč má naše intuice tendenci očekávat lineární závislosti tam, kde jsou mocninné?