77. Horáček vs Pažout - sluchátko

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Tento vztah mezi rychlostí a výškou je zásadní pro sportovní výkony - skok vysoký, skok daleký, basketbal, nebo třeba parkour. Malé zvýšení rychlosti odrazů má dramatický vliv na dosažené výšky. Trenéři využívají tento kvadratický vztah k optimalizaci tréninků a technik.

Zadání

Horáček a Pažout se hádají, kdo vyhodí výše ukradené utržené sluchátko. Pokud víme, že Horáček vyhodí sluchátko o 50% větší rychlostí, kolikrát výše sluchátko vystoupá?

Řešení

1. Analýza problému a zadaných hodnot

Logika výběru: Porovnáváme dva svislé vrhy se různými počátečními rychlostmi. Klíčové je rozpoznat, že výška závisí na druhé mocnině rychlosti, takže malé změny rychlosti vedou k velkým změnám výšky.
Zadané hodnoty:
  • Pažoutova rychlost: $v_P$ (referenční hodnota)
  • Horáčkova rychlost: $v_H = 1{,}5 \times v_P$ (o 50% větší)
  • Hledáme: poměr výšek $\frac{h_H}{h_P}$ = ?
Pozor na procentuální nárůst! 50% větší rychlost znamená 1,5× původní rychlost, ne 0,5× původní rychlost! Čili 100% + 50% = 150% = 1,5× původní hodnoty.

2. Fyzikální princip - energetický přístup

Proč energetický přístup? Výška výstupu při svislém vrhu závisí na tom, kolik kinetické energie se přemění na potenciální energii. Zákon zachování energie nám dává přímý vztah mezi rychlostí a výškou.
Praktická analogie: Je to jako natahování pružiny - čím víc energie do ní vložíš (rychlejší hod), tím víc se může "roztáhnout" (vyšší výška). Energie roste s druhou mocninou rychlosti!
Zákon zachování energie: $$E_k = E_p$$ $$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh$$ $$h = \frac{v_0^2}{2g}$$

Klíčové pozorování: Výška je úměrná druhé mocnině počáteční rychlosti!

3. Výpočet výšky pro oba házející

Užitečný tip: Používej obecné značení (písmena místo čísel) dokud není nutné dosazovat konkrétní hodnoty. Lépe tak uvidíš fyzikální závislosti.

Pažoutova výška:

$$h_P = \frac{v_P^2}{2g}$$

Horáčkova výška:

$$h_H = \frac{v_H^2}{2g} = \frac{(1{,}5 v_P)^2}{2g} = \frac{1{,}5^2 \cdot v_P^2}{2g} = \frac{2{,}25 \cdot v_P^2}{2g}$$

4. Výpočet poměru výšek

Najdeme, kolikrát výše letí Horáčkovo sluchátko:

$$\frac{h_H}{h_P} = \frac{\frac{2{,}25 \cdot v_P^2}{2g}}{\frac{v_P^2}{2g}} = \frac{2{,}25 \cdot v_P^2}{v_P^2} = 2{,}25$$

Odpověď: Horáčkovo sluchátko vystoupá 2,25× výše než Pažoutovo!

5. Fyzikální interpretace a obecný vztah

Obecný princip: Při zvýšení rychlosti faktorem $k$ se výška zvýší faktorem $k^2$. $$\text{Rychlost } \times k \quad \Rightarrow \quad \text{Výška } \times k^2$$
Praktické důsledky:
  • 50% rychleji = 125% výše (2,25× původní výšky)
  • 2× rychleji = 4× výše
  • 10% rychleji = 21% výše
  • Malý nárůst rychlosti → dramaticky větší výška
Sportovní aplikace: Proto je pro skokany nebo basketbalisty tak důležité pracovat na síle nohou - malé zlepšení rychlosti odrazů se promítne do velkého zlepšení výšky skoku!
Kontrola rozměrů: $[h] = \frac{[m \cdot s^{-1}]^2}{[m \cdot s^{-2}]} = \frac{m^2 \cdot s^{-2}}{m \cdot s^{-2}} = m$ ✓
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je závislost výšky na rychlosti kvadratická, ne lineární? Co to říká o povaze energie?
  • Kolikrát výše by letělo sluchátko při dvojnásobné rychlosti? A při trojnásobné?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby házeli z různých výšek (např. z balkonu)? Platilo by stále 2,25×?
  • Kde se tento kvadratický vztah ještě objevuje ve fyzice? (Nápověda: brzdná dráha auta)
  • Jaký má tento poznatek význam pro sportovní výkony? Proč je důležité trénovat sílu nohou?