76. Ivánkův kyj svisle vzhůru

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Svislý vrh je základní pohyb ve sportech - basketbal, volejbal, atletické disciplíny (vrh koulí), žonglování nebo prostě házení míčem nahoru. Pochopení svislého vrhu pomůže vám předvídat trajektorie a optimalizovat techniku ve sportu. Je to také základ pro složitější pohyby jako je šikmý vrh.

Zadání

Budeme se nyní zabývat svislým vrhem, tedy situací, kdy vyhodíte něco svisle nahoru, předmět dosáhne nejvyššího bodu a poté zase začne padat. Uvažujte g = 10 m·s⁻².

a) Pokud Ivánek vyhodí kyj svisle vzhůru rychlostí 20 m·s⁻¹, za jak dlouho spadne na zem?

b) Jakou rychlostí spadne na zem?

c) Jak vysoko vystoupá?

d) Nakreslete graf rychlosti v(t) a výšky kyje h(t) v závislosti na čase.

Řešení

1. Analýza situace a fyzikálního modelu

Logika výběru: Svislý vrh je kombinace dvou fází: stoupání (zpomalený pohyb do zastavení) a pád (zrychlený pohyb z klidu). Klíčová je symetrie - čas stoupání = čas klesání, rychlost výhozu = rychlost dopadu.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 20$ m·s⁻¹ (směrem nahoru)
  • Gravitační zrychlení: $g = 10$ m·s⁻² (směrem dolů)
  • Konečná poloha: zpět na zemi (výška 0)
  • Hledáme: a) celkový čas, b) dopadovou rychlost, c) max. výšku, d) grafy
Pozor na souřadný systém! Volíme konzistentní směr: +y nahoru, takže g působí se zápornm zrchlením -g. Alternativně můžeme volit +y dolů.

2. Část a) - Celková doba letu

Proč symetrie? Gravitace působí stejně při stoupání i klesání. Energie se mění z kinetické na potenciální a zpět stejně rychle. Proto doba nahoru = doba dolů.
Praktická analogie: Je to jako film puštěný pozpátku - míček stoupající nahoru vypadá úplně stejně jako míček padající dolů, jen se čas otáčí. Gravitace je "časově symetrická".

Doba stoupání (do v = 0):

$$v = v_0 - gt_k$$ $$\text{Pro } v = 0: \quad t_k = \frac{v_0}{g} = \frac{20}{10} = 2 \text{ s}$$

Celková doba letu (symetrie):

$$t_{\text{celkem}} = 2t_k = 2 \times 2 = 4 \text{ s}$$

3. Část b) - Dopadová rychlost

Užitečný tip: Díky zachování energie je dopadová rychlost vždy stejně velká jako rychlost výhozu (ale opačného směru). Není potřeba složitých výpočtů!

Z symetrie svislého vrhu:

$$v_{\text{dopad}} = v_0 = 20 \text{ m·s⁻¹}$$

Ověření výpočtem:

$$v(t) = v_0 - gt = 20 - 10 \times 4 = 20 - 40 = -20 \text{ m·s⁻¹}$$

Velikost: $|v| = 20$ m·s⁻¹ ✓

4. Část c) - Maximální výška

Proč dvě metody? Různé přístupy posilují pochopení. Kinematický přístup používá čas, energetický přístup je rychlejší a ukáže souvislost s energií.

Metoda 1 - kinematická (průměrná rychlost):

$$v_{\text{průměr}} = \frac{v_0 + 0}{2} = \frac{20 + 0}{2} = 10 \text{ m·s⁻¹}$$ $$h = v_{\text{průměr}} \cdot t_k = 10 \times 2 = 20 \text{ m}$$

Metoda 2 - energetická:

$$h = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20 \text{ m}$$

5. Část d) - Grafy v(t) a h(t)

Praktická analogie: Graf rychlosti je jako indikátor výtahu - stoupá, zastavuje, klesá. Graf výšky je jako stopka hodin - sleduje polohu v čase, tvoří parábolu.

Graf rychlosti v(t):

  • Lineární pokles z +20 m·s⁻¹ na -20 m·s⁻¹ za 4 s
  • Nula v čase t = 2 s (vrchol letu)
  • Sklon grafu = -g = -10 m·s⁻²
  • Rovnice: $v(t) = 20 - 10t$

Graf výšky h(t):

  • Parabola s vrcholem v (2 s, 20 m)
  • Symetrická kolem t = 2 s
  • Počáteční a konečná výška = 0
  • Rovnice: $h(t) = 20t - 5t^2$
Matematické vyjádření pohybu: $$v(t) = 20 - 10t \quad \text{[m·s⁻¹]}$$ $$h(t) = 20t - 5t^2 \quad \text{[m]}$$

6. Kontrola a odpověď

Odpovědi:
  • a) Celková doba letu: 4 s
  • b) Dopadová rychlost: 20 m·s⁻¹
  • c) Maximální výška: 20 m
  • d) Grafy: $v(t) = 20 - 10t$, $h(t) = 20t - 5t^2$
Kontrola rozumnosti: Kyj letí 4 sekundy a dosáhne 20 metrů výšky - to odpovídá přibližně 6patrovému domu. Pro výhoz rychlostí 72 km·h⁻¹ je to realistické.
Bezpečnostní poznámka: Ve skutečnosti by kyj rotoval a odpor vzduchu by mírně snížil dosah. Nikdy neházej těžké předměty svisle nahoru v zastavěné oblasti!
Alternativní přístup: Mohli jsme použít energetickou bilanci: $\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{max}$, odkud $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = 20$ m. Výsledek je stejný!
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je svislý vrh symetrický? Co způsobuje tuto symetrii a kdy by neplatila?
  • Jak by se změnila doba letu, kdyby byla počáteční rychlost 2× větší? A maximální výška?
  • Co by se stalo, kdyby Ivánek házel kyj z okna ve výšce 10 m? Byla by symetrie stále platná?
  • Jaký tvar by měl graf zrychlení a(t) pro svislý vrh? Proč by byl konstantní?
  • Kdy během letu je kinetická energie minimální a potenciální energie maximální? Kdy jsou si rovny?