75. Důkaz o brzdné dráze

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Pochopení brzdné dráhy je zásadní pro bezpečnost v dopravě. Každý řidič potřebuje znát, jak se vypočítává brzdná dráha, aby dokázal odhadnout bezpečnou následovnou vzdálenost. Tento vztah využívají dopravní experti při rekonstrukci nehod a při navrhování bezpečnostních předpisů.

Zadání

Brzdná dráha při rovnoměrně zpomaleném pohybu až do zastavení lze vyjádřit vztahem s = ½at², tedy stejně jako dráha pro rovnoměrně zrychlený pohyb. Dokažte toto tvrzení.

Řešení

1. Analýza problému a fyzikální interpretace

Logika důkazu: Chceme dokázat, že brzdná dráha má stejný matematický tvar jako dráha při zrychlení z klidu. Jde o důkaz symetrie mezi zrychlením a zpomalením - dva procesy, které jsou fyzikálně opačné, ale matematicky ekvivalentní.
Porovnávané situace:
  • Zrychlený pohyb z klidu: $v_0 = 0$, $s = \frac{1}{2}at^2$
  • Zpomalený pohyb do zastavení: $v_{\text{konečná}} = 0$, $s = ?$
  • Dokážeme, že oba dávají stejný vzorec
Pozor na znaménka zrychlení! Při brzdění je zrychlení opačného směru než rychlost. Záleží na konvenci souřadnic - my používáme velikost zrychlení |a|.

2. Grafický důkaz pomocí v-t diagramu

Proč grafický důkaz? Grafy v-t jsou vizuální důkaz - plocha pod grafem odpovídá uražené dráze. Když ukážeme, že oba trojúhelníky mají stejnou plochu, dokážeme identické vzorce.
Praktická analogie: Je to jako dvě stejně velké píšťaly - jedna se rozšiřuje (zrychlování), druhá se zužuje (zpomalování), ale obě mají stejný objem. Fyzika je plná takových symetrií!

Zrychlený pohyb z klidu (0 → v):

  • Graf: trojúhelník s vrcholy (0,0), (t,v), (t,0)
  • Plocha = $\frac{1}{2} \cdot t \cdot v = \frac{1}{2}at \cdot t = \frac{1}{2}at^2$

Zpomalený pohyb do zastavení (v → 0):

  • Graf: trojúhelník s vrcholy (0,v), (t,0), (0,0)
  • Plocha = $\frac{1}{2} \cdot t \cdot v$ (stejná velikost!)

Závěr: Oba trojúhelníky mají stejnou plochu, proto i stejnou dráhu!

3. Algebraický důkaz - metoda 1

Užitečný tip: Při algebraických důkazech začni s obecnou rovnicí a postupně do ní dosazuj podmínky pro konkrétní situaci (v tomto případě zastavení).

Vyjdeme z obecné kinematické rovnice pro zpomalený pohyb:

$$s = v_0 t - \frac{1}{2}at^2$$

Pro pohyb do úplného zastavení: $v_{\text{konečná}} = 0$

Z rovnice $v = v_0 - at$ pro $v = 0$ dostáváme: $v_0 = at$

Dosazení a úprava:

$$s = v_0 t - \frac{1}{2}at^2 = at \cdot t - \frac{1}{2}at^2$$ $$s = at^2 - \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$$

QED - Dokázáno! ✓

4. Algebraický důkaz - metoda 2

Proč druhá metoda? Různé přístupy k stejnému důkazu posilují pochopení a ukazují, že fyzikální zákonitosti jsou provázané. Tato metoda používá energetický přístup.

Použijeme rovnici nezávislou na čase: $v^2 = v_0^2 - 2as$

Pro úplné zastavení: $v = 0$

Vztah pro brzdnou dráhu:

$$0 = v_0^2 - 2as$$ $$s = \frac{v_0^2}{2a}$$

Protože $v_0 = at$, dostáváme:

$$s = \frac{(at)^2}{2a} = \frac{a^2t^2}{2a} = \frac{1}{2}at^2$$

QED - Opět stejný výsledek! ✓

5. Fyzikální interpretace a význam

Důkaz dokončen: Prokázali jsme, že brzdná dráha má skutečně tvar $s = \frac{1}{2}at^2$, což je stejný vztah jako pro zrychlený pohyb z klidu.
Symetrie pohybů: Zrychlený a zpomalený pohyb jsou symetrické procesy. Tato symetrie se projevuje nejen v kinematice, ale i v termodynamice, elektromagnetismu a jiných oblastech fyziky.
Praktický význam pro brzdění vozidel:
  • Brzdná dráha roste s druhou mocninou počáteční rychlosti
  • Při dvojnásobné rychlosti je brzdná dráha 4× delší
  • Silnější brzdy (větší zpomalení) zkracují brzdnou dráhu
Alternativní přístup: Mohli jsme použít zákon zachování energie: kinetická energie $\frac{1}{2}mv_0^2$ se mění na práci brzdné síly $F \cdot s = ma \cdot s$, odkud $s = \frac{v_0^2}{2a}$.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč má brzdná dráha stejný matematický tvar jako dráha při zrychlování? Co to říká o symetrii v přírodě?
  • Jak by se změnila brzdná dráha, kdyby bylo zpomalení 2× větší? A při 4× větším?
  • Co znamená symetrie mezi zrychlením a zpomalením v praxi? Kde ji vidíš kolem sebe?
  • Jak by se dala využít tato symetrie v jiných fyzikálních jevech (např. nabíjení a vybíjení kondenzátoru)?
  • Proč je důležité rozumět vztahu mezi rychlostí a brzdnou dráhou při řízení? Jak to ovlivňuje bezpečnost?