74. Helmut a chléb v propasti Macocha
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Propast Macocha je skutečná propast v Moravském krasu s hloubkou 138 m. Volný pád je základní pohyb, se kterým se setkáváme všude - od padajících předmětů až po bungee jumping a BASE jumping. Pochopení volného pádu je klíčové pro bezpečnost v extrémních sportech i při běžných aktivitách.
Zadání
Helmut stojí na kraji propasti Macocha s hloubkou h = 138 m a neuvážlivě upustil chléb s máslem a salámem. Odpor vzduchu velkoryse zanedbáme.
a) Vyjádřete dobu letu t a dopadovou rychlost v obecně, tedy pro obecnou hloubku h.
b) Určete dobu letu a dopadovou rychlost pro zadaný případ propasti Macocha.
Řešení
1. Analýza situace a fyzikálního modelu
Logika výběru: Máme volný pád bez počáteční rychlosti z výšky h. Těleso se pohybuje pouze pod vlivem gravitace. Jde o nejjednodušší případ rovnoměrně zrychleného pohybu se zrychlením g.
Dané hodnoty:
- Počáteční rychlost: $v_0 = 0$ m·s⁻¹
- Gravitační zrychlení: $g = 9{,}81$ m·s⁻²
- Výška: $h = 138$ m (pro část b)
- Odpor vzduchu: zanedbáváme
- Hledáme: čas pádu $t$ a dopadovou rychlost $v$
Pozor na směr koordinátů! Při volném pádu směřuje zrychlení dolů. Záleží na volbě souřadné soustavy - buď +g směrem dolů, nebo -g při +y směrem nahoru. My volíme +g směrem dolů.
2. Výběr fyzikálních rovnic pro volný pád
Proč tyto rovnice? Pro volný pád bez počáteční rychlosti používáme kinematické rovnice, kde počáteční rychlost $v_0 = 0$ a zrychlení $a = g$. Tyto rovnice jsou speciálním případem obecných kinematických rovnic.
Praktická analogie: Je to jako pouštění míčku z ruky - čím výš ho držíš, tím déle padá a tím rychleji dopadne. Gravitace jej zrychluje stejně bez ohledu na to, zda je to pírko nebo kladivo (bez odporu vzduchu).
Základní kinematické rovnice pro volný pád:
Dráha:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$Rychlost:
$$v = gt$$Rychlost přes dráhu:
$$v^2 = 2gh$$3. Část a) - Odvození obecných vzorců
Užitečný tip: Obecné vzorce ti pomohou pochopit fyzikální závislosti - například že čas roste s odmocninou výšky, ne lineárně!
Doba letu (obecně):
Z kinematické rovnice pro dráhu:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$ $$t^2 = \frac{2h}{g}$$ $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$Dopadová rychlost (obecně):
Způsob 1 - přes čas:
$$v = gt = g\sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$$Způsob 2 - přímo z energie:
$$v = \sqrt{2gh}$$4. Část b) - Číselné výpočty pro Macochu
Doba letu pro h = 138 m:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 138}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{276}{9{,}81}} = \sqrt{28{,}1} = 5{,}3 \text{ s}$$Dopadová rychlost:
$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9{,}81 \times 138} = \sqrt{2707} = 52 \text{ m·s⁻¹}$$Pro představu: 52 m·s⁻¹ = 187 km·h⁻¹ - to je rychlost rychlíku!
5. Kontrola a odpověď
Odpovědi:
- a) Obecné vzorce: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$, $v = \sqrt{2gh}$
- b) Pro Macochu: $t = 5{,}3$ s, $v = 52$ m·s⁻¹ (187 km·h⁻¹)
Kontrola rozměrů:
- $[t] = \sqrt{\frac{[m]}{[m \cdot s^{-2}]}} = \sqrt{s^2} = s$ ✓
- $[v] = \sqrt{[m \cdot s^{-2}] \cdot [m]} = \sqrt{m^2 \cdot s^{-2}} = m \cdot s^{-1}$ ✓
Poznámka k realitě: V skutečnosti by odpor vzduchu výrazně snížil dopadovou rychlost na přibližně 30-35 m·s⁻¹ (terminální rychlost pro lidské tělo nebo podobně velký předmět). Proto je BASE jumping z takových výšek extrémně nebezpečný!
Alternativní přístup: Mohli jsme použít zákon zachování energie: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$, odkud $v = \sqrt{2gh}$. Čas bychom pak dostali z $v = gt$, tedy $t = \frac{v}{g}$.
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je dopadová rychlost nezávislá na hmotnosti tělesa? Co to znamená pro pírko vs. kladivo?
- Jak by se změnily výsledky, kdybychom uvažovali odpor vzduchu? Které předměty by to ovlivnilo více?
- Co by se stalo, kdyby Helmut hodil chléb vodorovně rychlostí 10 m·s⁻¹ místo jeho pouštění?
- Jak dlouho by trval pád z výšky dvojnásobné (276 m)? Je doba letu dvojnásobná?
- Při jaké výšce by dosáhl předmět rychlosti 100 km·h⁻¹? Zkus odhadnout!