73. Graf rychlosti pana Joudy

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Grafy rychlosti jsou všude kolem nás! Od analýzy sportovních výkonů přes diagnostiku automobilů až po výzkum chůze. Pochopení grafů v-t ti otevře cestu k porozumění pohybu nejen ve fyzice, ale i v medicíně, sportu a inženýrství. Navíc je to klíčová dovednost pro maturitu!

Zadání

Výborný fotbalový útočník pan Jouda se při průniku do vápna pohyboval podle grafu rychlosti v(t) na obrázku. Určete co nejjednodušeji celkovou uraženou dráhu a zrychlení na jednotlivých úsecích.

Graf rychlosti v(t) pana Joudy:

Představ si graf s těmito hodnotami:

  • 0-2 s: rychlost roste z 0 na 6 m·s⁻¹ (lineárně)
  • 2-4 s: konstant rychlost 6 m·s⁻¹
  • 4-5 s: rychlost roste z 6 na 10 m·s⁻¹ (lineárně)
  • 5-7 s: rychlost klesá z 10 na 0 m·s⁻¹ (lineárně)

Řešení

1. Analýza grafu a jeho interpretace

Logika čtení grafů: Graf v(t) je mapa pohybu - ukazuje rychlost v každém okamžiku. Ze sklonu čteme zrychlení, z plochy pod grafem čteme uraženou dráhu. Je to jako GPS záznam běhu!
Z grafu vyčteme:
  • Čtyři různé fáze pohybu (úseky s různým zrychlením)
  • Maximální rychlost: 10 m·s⁻¹ (v čase 5 s)
  • Časové intervaly jednotlivých fází
  • Celkový čas průniku: 7 sekund
Pozor na časté chyby! Plocha pod grafem v(t) představuje dráhu, ne rychlost! Sklon grafu v(t) představuje zrychlení, ne rychlost.

2. Fyzikální princip - dráha z grafu v(t)

Proč plocha = dráha? Dráha je integrál rychlosti podle času. Matematicky: $s = \int v(t) \, dt$. Graficky to znamená, že musíme sečíst všechny plochy pod křivkou.
Praktická analogie: Je to jako počítání vody ze sprchy - čím déle (čas) a čím silněji (rychlost) teče voda, tím více jí bude celkem. Plocha obdélníku = šířka × výška = čas × rychlost = dráha.
$$s = \int v(t) \, dt = \text{plocha pod křivkou v grafu } v(t)$$

Prakticky: sečti plochy všech geometrických útvarů pod křivkou

3. Výpočet celkové dráhy

Užitečný tip: Rozděl graf na jednoduché geometrické útvary (trojúhelníky, obdélníky, lichoběžníky) a spočítej jejich plochy podle základních vzorců.

Úsek 1 (0-2 s): Trojúhelník

$$S_1 = \frac{1}{2} \times \text{základ} \times \text{výška} = \frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6 \text{ m}$$

Úsek 2 (2-4 s): Obdélník

$$S_2 = \text{šířka} \times \text{výška} = 2 \times 6 = 12 \text{ m}$$

Úsek 3 (4-5 s): Lichoběžník

$$S_3 = \frac{1}{2} \times \text{součet základen} \times \text{výška} = \frac{1}{2} \times (6 + 10) \times 1 = 8 \text{ m}$$

Úsek 4 (5-7 s): Trojúhelník

$$S_4 = \frac{1}{2} \times 2 \times 10 = 10 \text{ m}$$
$$s_{\text{celková}} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 6 + 12 + 8 + 10 = 36 \text{ m}$$

4. Výpočet zrychlení na jednotlivých úsecích

Proč sklon = zrychlení? Zrychlení je derivace rychlosti podle času: $a = \frac{dv}{dt}$. Graficky to znamená sklon tečny ke křivce. Pro přímky je to jednoduše $\frac{\Delta v}{\Delta t}$.

Úsek 1 (0-2 s): Rozběh

$$a_1 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{6-0}{2-0} = 3 \text{ m·s⁻²}$$

Úsek 2 (2-4 s): Konstantní rychlost

$$a_2 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{6-6}{4-2} = 0 \text{ m·s⁻²}$$

Úsek 3 (4-5 s): Finální spurt

$$a_3 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{10-6}{5-4} = 4 \text{ m·s⁻²}$$

Úsek 4 (5-7 s): Zastavení

$$a_4 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{0-10}{7-5} = -5 \text{ m·s⁻²}$$

5. Kontrola a odpověď

Celková uražená dráha: $s = 36$ m Zrychlení na úsecích:
  • 1. úsek (0-2 s): $a_1 = 3$ m·s⁻² - rozběh
  • 2. úsek (2-4 s): $a_2 = 0$ m·s⁻² - konstantní rychlost
  • 3. úsek (4-5 s): $a_3 = 4$ m·s⁻² - finální spurt
  • 4. úsek (5-7 s): $a_4 = -5$ m·s⁻² - zastavení
Kontrola rozumnosti: Pan Jouda urazil 36 metrů za 7 sekund - průměrná rychlost asi 5 m·s⁻¹ (18 km·h⁻¹). To odpovídá rychlému běhu fotbalisty, realistické!
Sportovní interpretace: Pan Jouda nejprve zrychluje (rozběh), pak běží konstantní rychlostí (ustálený běh), následně prudce zrychluje (možná obcházení obránce nebo finální spurt ke gólu) a nakonec se zastavuje (možná po vstřelení gólu nebo vyražení míče brankářem!).
Alternativní kontrola: Průměrná rychlost = celková dráha / celkový čas = 36/7 = 5,14 m·s⁻¹. To se shoduje s vizuálním odhadem z grafu!
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by vypadal graf a(t) (zrychlení v čase) pro tento pohyb? Nakresli si ho!
  • V kterém úseku byl pan Jouda nejrychlejší a proč? Kdy urazil nejvíce metrů?
  • Co by se změnilo na grafech, kdyby pan Jouda běžel zpátky stejnou rychlostí?
  • Jak se liší analýza pohybu fotbalisty od analýzy pohybu auta při městské jízdě?
  • Kdyby pan Jouda v úseku 2 zpomaloval místo konstantní rychlosti, jak by se změnila celková dráha?