72. Vlak s medvídky a strom

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Železniční bezpečnost je věda! Strojvedoucí musí znát brzdné vlastnosti svého vlaku, aby mohli včas reagovat na překážky. Tento dramatický příklad ti ukáže, proč jsou dlouhé brzdné dráhy vlaků jedním z největších technických výzev železnice. Navíc se seznámíš s kvadratickými rovnicemi v praxi!

Zadání

Těžký nákladní vlak s padesáti vagony gumových medvídků jel rychlostí 90 km·h⁻¹, když strojvedoucí 300 metrů před sebou spatřil strom padlý přes trať. Okamžitě aktivoval brzdný systém, který je schopen brzdit se zrychlením 0,8 m·s⁻². Jakou rychlostí do stromu vlak narazil? Přežijí to medvídci?

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jde o rovnoměrně zpomalený pohyb na omezenou vzdálenost. Vlak má počáteční rychlost, začne brzdit na určité dráze a my chceme vědět, jakou rychlostí dojede na konec této dráhy. Neznáme čas, ale známe rychlost, dráhu a zrychlení.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 90$ km·h⁻¹ = $25$ m·s⁻¹
  • Brzdná vzdálenost: $s = 300$ m
  • Brzdné zpomalení: $a = -0{,}8$ m·s⁻² (záporné = zpomalování)
  • Hledáme: rychlost při nárazu $v$
Pozor na znaménka! Brždění znamená záporné zrychlení. V rovnicích správně rozlišuj mezi zrychlováním (+) a brzdněním (-). Vlak se zpomaluje, takže a = -0,8 m·s⁻².

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tuto rovnici? Máme počáteční rychlost, dráhu, zrychlení a chceme konečnou rychlost. Čas neznáme a ani nás nezajímá. Proto použijeme kinematickou rovnici $v^2 = v_0^2 + 2as$, která čas neobsahuje.
Praktická analogie: Je to jako při sjezdu na lyžích - znáš rychlost na vrcholu, délku sjezdovky a jak moc tě brzda zpomaluje. Nepotřebuješ vědět, jak dlouho sjezd trvá, abys spočítal rychlost na konci.
$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Alternativně pro kontrolu:

$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

3. Algebraické vyjádření

Užitečný tip: Při řešení kvadratických rovnic si napřed připrav všechny známé hodnoty a pak postupuj systematicky. Nezapomeň na správná znaménka!
$$v^2 = v_0^2 + 2as$$ $$v^2 = v_0^2 + 2 \times (-0{,}8) \times 300$$ $$v^2 = v_0^2 - 480$$ $$v = \sqrt{v_0^2 - 480}$$

4. Dosazení a výpočet

Převod jednotek:

$$v_0 = 90 \text{ km·h⁻¹} = \frac{90}{3{,}6} = 25 \text{ m·s⁻¹}$$

Výpočet rychlosti nárazu:

$$v^2 = 25^2 - 480 = 625 - 480 = 145$$ $$v = \sqrt{145} = 12{,}04 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 12{,}04 \times 3{,}6 = 43{,}3 \text{ km·h⁻¹}$$

5. Kontrola a odpověď

Odpověď: Vlak narazí do stromu rychlostí 43,3 km·h⁻¹ (12,04 m·s⁻¹).
Kontrola rozumnosti: Vlak se zpomalil z 90 km·h⁻¹ na 43 km·h⁻¹ za 300 metrů - což je rozumné pro těžký vlak s pomalým brzděním 0,8 m·s⁻². Pro srovnání: auto by na této vzdálenosti zastavilo úplně.
Odpověď na otázku o medvídcích: Gumové medvídky náraz rychlostí 43 km·h⁻¹ pravděpodobně přežijí (jsou pružné!), ale reálný nákladní vlak by při takové rychlosti způsobil značné škody na trati i nákladu.
Alternativní kontrola: Čas brždění: $t = \frac{v_0 - v}{|a|} = \frac{25 - 12{,}04}{0{,}8} = 16{,}2$ s. Kontrola dráhy: $s = \frac{(v_0 + v) \times t}{2} = \frac{37{,}04 \times 16{,}2}{2} = 300$ m ✓
🤔 Metakognitivní otázky
  • Co by se stalo, kdyby strom ležel jen 200 metrů před vlakem? Jakou rychlostí by do něj narazil?
  • Jak daleko před překážkou by musel vlak začít brzdit, aby se úplně zastavil?
  • Proč mají vlaky tak dlouhé brzdné dráhy ve srovnání s auty? Co ovlivňuje brzdné zrychlení?
  • Jaký vliv má hmotnost nákladu (medvídci vs. uhlí) na brzdné vlastnosti vlaku?
  • Jak by se změnila situace, kdyby vlak brzdil dvakrát silněji (a = -1,6 m·s⁻²)?