71. Brzdná dráha auta

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Brzdná dráha zachraňuje životy každý den! Řidiči často podceňují, jak dramaticky roste se rychlostí. Pochopení tohoto jevu ti pomůže být bezpečnějším řidičem a možná jednou zachráníš život - svůj nebo někoho jiného. Policie a pojišťovny používají tyto výpočty při vyšetřování nehod!

Zadání

Auto může obecně zpomalovat se zrychlením maximálně a = -6 m·s⁻².

a) Jak dlouhá je brzdná dráha, pokud auto jede v obci rychlostí v₀ = 50 km·h⁻¹? Řešte nejprve obecně (jen pomocí písmen) a poté pro konkrétní zadané hodnoty.

b) Co kdyby auto jelo nepovolenou rychlostí 60 km·h⁻¹? Jak se prodlouží brzdná dráha?

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jde o rovnoměrně zpomalený pohyb (speciální případ zrychleného pohybu se záporným zrychlením). Auto se zastavuje, takže konečná rychlost je nula. Neznáme čas, ale známe rychlosti a zrychlení.
Dané hodnoty:
  • a) Počáteční rychlost: $v_0 = 50$ km·h⁻¹
  • Konečná rychlost: $v = 0$ m·s⁻¹ (auto se zastaví)
  • Zpomalení: $a = -6$ m·s⁻²
  • b) Porovnání s rychlostí $v_0 = 60$ km·h⁻¹
  • Hledáme: brzdnou dráhu $s$
Pozor na znaménka! Zpomalení je záporné zrychlení. V rovnicích musíme rozlišovat mezi modulem (|a| = 6 m·s⁻²) a skutečnou hodnotou (a = -6 m·s⁻²). Pro brzdnou dráhu používáme modul!

2. Výběr fyzikální rovnice

Proč tuto rovnici? Pro brzdnou dráhu používáme kinematickou rovnici $v^2 = v_0^2 + 2as$, protože neznáme čas brždění, ale známe rychlosti a zrychlení. Tato rovnice je ideální pro situace, kdy nás čas nezajímá.
Praktická analogie: Je to jako při házení míčkem nahoru - nepotřebuješ vědět, jak dlouho míček letí, abys spočítal, do jaké výšky dolétne. Podobně nepotřebuješ čas brždění, abys spočítal brzdnou dráhu.
$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Po úpravě pro zastavení (v = 0):

$$0 = v_0^2 + 2as$$ $$s = \frac{v_0^2}{2|a|}$$

3. Obecné odvození brzdné dráhy

Užitečný tip: Obecné odvození pomocí průměrné rychlosti je názornější - ukáže, jak se brzdná dráha skládá z času brždění a průměrné rychlosti během tohoto času.
Doba zastavení: $t = \frac{v_0}{|a|}$ Průměrná rychlost: $v_{\text{průměr}} = \frac{v_0 + 0}{2} = \frac{v_0}{2}$ Brzdná dráha: $s = v_{\text{průměr}} \times t = \frac{v_0}{2} \times \frac{v_0}{|a|} = \frac{v_0^2}{2|a|}$

4. Dosazení a výpočet

a) Konkrétní výpočet pro 50 km·h⁻¹:

$$v_0 = 50 \text{ km·h⁻¹} = \frac{50}{3{,}6} = 13{,}89 \text{ m·s⁻¹}$$ $$s = \frac{v_0^2}{2|a|} = \frac{(13{,}89)^2}{2 \times 6} = \frac{193}{12} = 16{,}1 \text{ m}$$

b) Porovnání s rychlostí 60 km·h⁻¹:

$$v_0' = 60 \text{ km·h⁻¹} = \frac{60}{3{,}6} = 16{,}67 \text{ m·s⁻¹}$$ $$s' = \frac{(16{,}67)^2}{12} = \frac{278}{12} = 23{,}2 \text{ m}$$ Poměr: $\frac{s'}{s} = \frac{60^2}{50^2} = \frac{3600}{2500} = 1{,}44$

5. Kontrola a odpověď

Odpovědi:
  • a) Brzdná dráha při 50 km·h⁻¹ je 16,1 m
  • b) Při 60 km·h⁻¹ je brzdná dráha 23,2 m (o 44% delší!)
Kontrola rozumnosti: Brzdná dráha 16 metrů při 50 km·h⁻¹ odpovídá přibližně délce jednoho autobusu. To je realistické - většina řidičů si uvědomuje, že potřebují aspoň jeden autobus na zastavení v obci.
Důležité pozorování: Zvýšení rychlosti o pouhých 20% (z 50 na 60 km·h⁻¹) způsobí prodloužení brzdné dráhy o 44%! To proto, že brzdná dráha roste s druhou mocninou rychlosti. Těch 7 metrů rozdílu může být rozdíl mezi záchranou života a tragédií.
Alternativní způsob: Mohli jsme postupovat přes čas: $t = \frac{v_0}{|a|} = \frac{13{,}89}{6} = 2{,}31$ s, pak $s = \frac{v_0 \cdot t}{2} = \frac{13{,}89 \times 2{,}31}{2} = 16{,}1$ m. Výsledek je stejný!
🤔 Metakognitivní otázky
  • O kolik procent se prodlouží brzdná dráha při zvýšení rychlosti ze 130 na 150 km·h⁻¹ na dálnici?
  • Proč je brzdná dráha v suchu kratší než na mokré silnici? Jak by se změnilo zrychlení?
  • Jak by se změnila brzdná dráha, kdyby auto mělo lepší brzdy (a = -8 m·s⁻²)? Zkus odhadnout!
  • Proč jsou rychlostní limity v obcích nižší než na dálnicích? Jakou roli hraje brzdná dráha?
  • Jak se změní brzdná dráha ve srovnání s 50 km·h⁻¹, když pojedeš 100 km·h⁻¹? Je to dvojnásobek?