70. Erikův pekáč - dvě metody

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Znáš ten pocit, když auto zrychluje na dálnici? Fyzika ti vysvětlí, proč potřebuješ tak dlouhý rozjezd! Tento příklad ti ukáže, že existuje více cest ke stejnému výsledku - klíčová dovednost nejen ve fyzice, ale i v životě. Navíc se naučíš odhadovat vzdálenosti při předjíždění!

Zadání

Erik hned na konci obce sešlápl plyn svého pekáče až k podlaze a se zrychlením 1,5 m·s⁻² zrychlil z 50 km·h⁻¹ na 90 km·h⁻¹. Jakou vzdálenost mezitím ujel? Počítejte dvěma různými způsoby – jednak na základě průměrné rychlosti a jednak ze vztahu mezi dráhou a zrychlením.

Řešení

1. Analýza situace a zadané hodnoty

Logika výběru: Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb, protože Erik zrychluje konstantním zrychlením. Pro tento typ pohybu existují tři základní kinematické rovnice a můžeme si vybrat tu nejvhodnější podle daných hodnot.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 50$ km·h⁻¹
  • Konečná rychlost: $v = 90$ km·h⁻¹
  • Zrychlení: $a = 1{,}5$ m·s⁻²
  • Hledáme: ujetou dráhu $s$
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v km·h⁻¹, ale zrychlení v m·s⁻². Musíme převést km·h⁻¹ na m·s⁻¹ dělením 3,6!

2. Převod jednotek

Užitečný tip: Převod km·h⁻¹ na m·s⁻¹: dělíme 3,6 (nebo násobíme 1000 a dělíme 3600). Opačně násobíme 3,6.
$$v_0 = 50 \text{ km·h⁻¹} = \frac{50}{3{,}6} = 13{,}89 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 90 \text{ km·h⁻¹} = \frac{90}{3{,}6} = 25{,}00 \text{ m·s⁻¹}$$

3. Metoda 1: Průměrná rychlost

Proč tuto rovnici? Při rovnoměrně zrychleném pohybu je průměrná rychlost přesně aritmetickým průměrem počáteční a konečné rychlosti. To platí pouze pro konstantní zrychlení!
Praktická analogie: Je to jako průměrování teplot - máš-li ráno 10°C a odpoledne 20°C, průměr je 15°C. Stejně tak při zrychlování z 50 na 90 km·h je průměrná rychlost 70 km·h.
$$v_{\text{průměr}} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{13{,}89 + 25{,}00}{2} = 19{,}45 \text{ m·s⁻¹}$$

Nyní potřebujeme čas zrychlování:

$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{25{,}00 - 13{,}89}{1{,}5} = \frac{11{,}11}{1{,}5} = 7{,}41 \text{ s}$$
$$s = v_{\text{průměr}} \times t = 19{,}45 \times 7{,}41 = 144{,}1 \text{ m}$$

4. Metoda 2: Kinematická rovnice

Proč tuto rovnici? Používáme základní kinematickou rovnici $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$, protože známe počáteční rychlost, zrychlení a čas. Tato rovnice přímo vyjadřuje, jak se skládá dráha z části rovnoměrného pohybu ($v_0 t$) a části způsobené zrychlením ($\frac{1}{2}at^2$).
Praktická analogie: Je to jako rozdělit běh na dvě části - část, kterou bys uběhl konstantní rychlostí, plus "bonus" od zrychlování. Jako když jdeš normálně a pak přidáš do kroku.
$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$ $$s = 13{,}89 \times 7{,}41 + \frac{1}{2} \times 1{,}5 \times (7{,}41)^2$$ $$s = 102{,}9 + 0{,}75 \times 54{,}9 = 102{,}9 + 41{,}2 = 144{,}1 \text{ m}$$

5. Kontrola a odpověď

Odpověď: Erik ujel během zrychlování 144 m (obě metody daly stejný výsledek).
Kontrola rozumnosti: Erik ujel asi 144 metrů během 7,4 sekundy zrychlování. To odpovídá délce asi 1,5 fotbalového hřiště - rozumné pro zrychlení ze 50 na 90 km·h. Průměrná rychlost byla 70 km·h, což za 7,4 s dává přibližně 144 m.
Alternativní způsob: Mohli jsme také použít rovnici $v^2 = v_0^2 + 2as$, ze které vyjádříme $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{625 - 193}{3} = 144$ m. Výsledek je opět stejný!
🤔 Metakognitivní otázky
  • Kterou metodu považuješ za jednodušší a proč? Kdy by byla výhodnější první a kdy druhá metoda?
  • Jak by se změnila ujetá dráha, kdyby Erik zrychloval dvojnásobně (3,0 m·s⁻²)? Zkus odhadnout před výpočtem!
  • Proč je důležité umět spočítat rozjezdovou dráhu při předjíždění? Jaké bezpečnostní aspekty to má?
  • Zkus odhadnout, jaká by byla průměrná rychlost v km·h⁻¹ a porovnej s výpočtem!
  • Co by se stalo, kdyby Erik nezrychloval z klidu, ale ze 100 km·h na 140 km·h se stejným zrychlením?