69. Obří Štěpán a kámen

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Tento fantastický příklad kombinuje matematiku s představivostí a procvičuje všechny klíčové aspekty volného pádu. Podobné výpočty používají inženýři při navrhování výškových budov, mostů a při analýze bezpečnosti objektů padajících z velkých výšek.

📋 Zadání

Štepán si přál k Vánocům, aby byl 100× větší. Přání se mu splnilo a nyní měří na výšku 170 metrů. Na oslavu z výšky svého majestátu upustil kámen. Neuvažujte odpor vzduchu, berte g = 10 m·s⁻² a odpovězte:

  1. V jaké výšce nad zemí se kámen nachází 2,5 sekundy po vypuštění?
  2. Za jak dlouho bude kámen ve výšce 100 m?
  3. Jakou rychlostí kámen poletí ve výšce 100 m?
  4. Jakou dráhu urazí kámen během čtvrté sekundy letu?
  5. Jakou rychlostí kámen dopadne na zem?
  6. V jaké výšce bude kámen ve chvíli, kdy letí rychlostí 50 m·s⁻¹?

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o volný pád z klidu z výšky 170 m. Používáme základní kinematické rovnice s počáteční rychlostí $v_0 = 0$ a zrychlením $g = 10$ m·s⁻².
Pozor na znaménka! Výška nad zemí klesá, takže odečítáme uraženou dráhu od počáteční výšky. Rozlišujme "uraženou dráhu" a "výšku nad zemí".
Základní data:
  • Počáteční výška: $h_0 = 170$ m
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 0$ (upuštění z klidu)
  • Zrychlení: $g = 10$ m·s⁻² (zjednodušené)

⚙️ Krok 2: Výběr rovnic

Proč tyto rovnice? Pro volný pád z výšky používáme kombinaci rovnic pro dráhu, rychlost a výšku nad zemí. Klíčové je rozlišovat mezi upadnutou vzdáleností a aktuální výškou.

Klíčové rovnice volného pádu:

$$h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2 \quad \text{(výška nad zemí)}$$ $$v(t) = gt \quad \text{(rychlost z klidu)}$$ $$s(t) = \frac{1}{2}gt^2 \quad \text{(upadnutá dráha)}$$ $$v^2 = 2gs \quad \text{(rychlost vs. dráha)}$$
Praktická analogie: Obří Štěpán je jako mrakodrap - kámen padá stejně jako z jakékoliv jiné vysoké budovy, jen výška je fantasticky velká!

🔢 Krok 3: Výpočet všech částí

a) Výška po 2,5 sekundách

Upadnutá vzdálenost za 2,5 s:

$$s = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2{,}5)^2 = 5 \times 6{,}25 = 31{,}25 \text{ m}$$

Výška nad zemí:

$$h = h_0 - s = 170 - 31{,}25 = 138{,}75 \text{ m}$$
Odpověď a: Kámen je ve výšce 138,75 m nad zemí

b) Čas do výšky 100 m

Potřebná upadnutá vzdálenost:

$$s = h_0 - h = 170 - 100 = 70 \text{ m}$$

Čas z rovnice $s = \frac{1}{2}gt^2$:

$$t = \sqrt{\frac{2s}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 70}{10}} = \sqrt{14} = 3{,}74 \text{ s}$$
Odpověď b: Za 3,74 sekundy
Pozor: Počítáme s upadnutou vzdáleností (70 m), ne s výškou nad zemí (100 m)!

c) Rychlost ve výšce 100 m

Rychlost po čase t = 3,74 s:

$$v = gt = 10 \times 3{,}74 = 37{,}4 \text{ m·s⁻¹}$$

Převod na km·h⁻¹:

$$v = 37{,}4 \times 3{,}6 = 134{,}6 \text{ km·h⁻¹}$$
Odpověď c: 37,4 m·s⁻¹ (≈ 135 km·h⁻¹)

d) Dráha během čtvrté sekundy

Čtvrtá sekunda = od t = 3 s do t = 4 s:

$$s(3\text{s}) = \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45 \text{ m}$$ $$s(4\text{s}) = \frac{1}{2} \times 10 \times 4^2 = 80 \text{ m}$$

Dráha během čtvrté sekundy:

$$\Delta s = s(4\text{s}) - s(3\text{s}) = 80 - 45 = 35 \text{ m}$$
Odpověď d: 35 m během čtvrté sekundy

e) Rychlost dopadu na zem

Celkový čas pádu ze 170 m:

$$t_{celkem} = \sqrt{\frac{2h_0}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 170}{10}} = \sqrt{34} = 5{,}83 \text{ s}$$

Rychlost dopadu:

$$v_{dopad} = gt_{celkem} = 10 \times 5{,}83 = 58{,}3 \text{ m·s⁻¹}$$
Odpověď e: 58,3 m·s⁻¹ (≈ 210 km·h⁻¹)

f) Výška při rychlosti 50 m·s⁻¹

Čas k dosažení rychlosti 50 m·s⁻¹:

$$t = \frac{v}{g} = \frac{50}{10} = 5 \text{ s}$$

Upadnutá vzdálenost za 5 s:

$$s = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5^2 = 125 \text{ m}$$

Výška nad zemí:

$$h = 170 - 125 = 45 \text{ m}$$
Odpověď f: Ve výšce 45 m nad zemí

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Souhrnné odpovědi:
  • a) Výška po 2,5 s: 138,75 m
  • b) Čas do výšky 100 m: 3,74 s
  • c) Rychlost ve 100 m: 37,4 m·s⁻¹
  • d) Dráha ve 4. sekundě: 35 m
  • e) Rychlost dopadu: 58,3 m·s⁻¹
  • f) Výška při v = 50 m·s⁻¹: 45 m
Kontrola rozumnosti: Všechny hodnoty jsou logické - rychlost roste lineárně s časem, výška klesá kvadraticky, rychlost dopadu je vysoká ale realistická pro tak velkou výšku.
Alternativní způsob: Pro některé části můžeme použít energetické vztahy: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$, což dává $v = \sqrt{2g(h_0 - h)}$.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se dráha během čtvrté sekundy (35 m) liší od třetí sekundy (25 m)?
  • Jak by se změnily výsledky na Měsíci (g = 1,6 m·s⁻²)?
  • Jaký vliv by měl odpor vzduchu na reálný pád?
  • Je rychlost dopadu 210 km·h⁻¹ skutečně dosažitelná v praxi?
  • Proč je výška 45 m při rychlosti 50 m·s⁻¹ ještě relativně vysoká?