68. Ondra pouští klíče
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Volný pád je všude kolem nás - od upuštěných klíčů až po nebezpečné padající předměty ze staveb. Pochopení fyziky volného pádu pomáhá stavbařům a bezpečnostním technikům určovat velikost ochranných zón pod stavbami a může zachránit životy.
📋 Zadání
Ondra pouští klíče Martinovi ze čtvrtého patra (11 metrů nad Martinovou hlavou). Za jak dlouho po upuštění klíče Martinovi rozrazí hlavu? Bude mít čas odříkat si otčenáš?
💭 Krok 1: Analýza situace
Logika výběru: Jde o typický volný pád z klidu. Klíče se upustí (nevyhodí), takže počáteční rychlost je nulová. Používáme rovnici $h = \frac{1}{2}gt^2$ a vyjádříme z ní čas.
Pozor na rozdíl! Při volném pádu rozlišujeme mezi "upuštěním" ($v_0 = 0$) a "vyhozením" ($v_0 \neq 0$). Ondra klíče upustil, takže počáteční rychlost je nulová.
Dané hodnoty:
- Výška pádu: $h = 11$ m
- Počáteční rychlost: $v_0 = 0$ m·s⁻¹ (upuštění z klidu)
- Tíhové zrychlení: $g = 9{,}81$ m·s⁻²
- Hledáme: čas pádu $t$
⚙️ Krok 2: Výběr rovnice
Proč tuto rovnici? Pro volný pád z klidu používáme zjednodušenou kinematickou rovnici, kde se člen $v_0 t$ rovná nule. Známe výšku a gravitační zrychlení, hledáme čas.
Rovnice volného pádu z klidu:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$Vyjádření času pádu:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Praktická analogie: Volný pád je jako skluz po nekonečně strmé skluzavce - každou sekundu získáte stejné "přidané množství" rychlosti díky gravitaci.
🔢 Krok 3: Výpočet
Algebraické vyjádření času:
$$h = \frac{1}{2}gt^2$$ $$t^2 = \frac{2h}{g}$$ $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Vzorec pro čas pádu: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Dosazení číselných hodnot:
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 11}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{22}{9{,}81}} = \sqrt{2{,}24} \approx 1{,}5 \text{ s}$$
Výsledek: Klíče dopadnou za 1,5 sekundy
Rychlost dopadu (bonus):
$$v = gt = 9{,}81 \times 1{,}5 = 14{,}7 \text{ m·s⁻¹} \approx 53 \text{ km·h⁻¹}$$
Rychlost dopadu: Přibližně 53 km·h⁻¹ - nebezpečné!
Tip: Pro rychlý odhad můžeme použít $g = 10$ m·s⁻², což dá $t = \sqrt{\frac{22}{10}} = \sqrt{2{,}2} \approx 1{,}48$ s
✅ Krok 4: Kontrola a odpověď
Odpověď: Klíče dopadnou na Martinovu hlavu za 1,5 sekundy. Martin nestihne odříkat celý Otčenáš (trvá 15-20 s), možná jen "Otče náš" na začátku.
Kontrola rozumnosti: Čas 1,5 s ze čtvrtého patra (11 m) je rozumný. Pro porovnání - pád z prvního patra (3 m) by trval asi 0,8 s. Rychlost dopadu 53 km·h⁻¹ může způsobit vážné zranění.
Alternativní způsob: Můžeme použít energetickou metodu: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$, takže $v = \sqrt{2gh}$, a pak $t = \frac{v}{g} = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
🤔 Metakognitivní otázky
- Jakou rychlostí budou klíče dopadat na Martinovu hlavu? (Spočítáno: 53 km·h⁻¹)
- Z jaké výšky by musel Ondra pustit klíče, aby Martin stihl odříkat celý Otčenáš?
- Jak by se změnil čas pádu, kdybychom uvažovali odpor vzduchu?
- Proč je důležité znát fyziku volného pádu při práci na stavbách?
- Co kdyby byla scéna na Měsíci (g = 1,6 m·s⁻²)?