67. Kámen v propasti

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Volný pád je základní jev v přírodě. Od padajících jablíček přes skoky do vody až po výsadkáře či spadané objekty ze staveb. Porozumění volnému pádu pomáhá odhadnout nebezpečnost pádů z výšky a pochopit důležitost bezpečnostních opatření.

📋 Zadání

Karolína stojí nad propastí a upustí do ní kámen. Kámen dopadl na dno po čtyřech sekundách letu.

  1. Jak hluboká je propast? Mohla by to být Macocha? Diskutujte.
  2. Jakou rychlostí kámen dopadl na zem?
  3. Nakreslete graf uražené dráhy v závislosti na čase, určete celkovou uraženou dráhu po uplynutí 1 s, 2 s, 3 s a 4 s.

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o volný pád z klidu pod vlivem gravitace. Používáme kinematické rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb s $a = g$ a počáteční rychlostí $v_0 = 0$.
Pozor na volný pád! Volný pád = počáteční rychlost je nulová! Kámen se upustí, nevrhá se dolů. Zanedbáváme odpor vzduchu.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 0$ (upuštění z klidu)
  • Doba pádu: $t = 4$ s
  • Gravitační zrychlení: $g = 9{,}81$ m·s⁻²
  • Hledáme: hloubku, rychlost dopadu, graf s(t)

⚙️ Krok 2: Výběr rovnic

Proč tyto rovnice? Pro volný pád z klidu používáme kinematické rovnice s konstantním zrychlením $g$. Dráha roste kvadraticky s časem, rychlost lineárně.

Rovnice volného pádu:

$$h = v_0 t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2 \quad \text{(z klidu)}$$ $$v = v_0 + gt = gt \quad \text{(z klidu)}$$ $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \quad \text{(čas pádu z výšky h)}$$
Praktická analogie: Volný pád je jako rozjíždějící se auto s konstantním "plynem" - každou sekundu přibyde stejné množství rychlosti, ale ujede se stále více metrů.

🔢 Krok 3: Výpočet

a) Hloubka propasti

Výpočet hloubky:

$$h = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 4^2 = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 16 = 78{,}48 \text{ m}$$
Výsledek: Hloubka propasti je přibližně 78,5 m

Diskuse - je to Macocha?

Propast Macocha v Moravském krasu má hloubku asi 138 m.

Porovnání: 78,5 m < 138 m

Pro kontrolu - čas pádu v Macoše:

$$t_{Macocha} = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 138}{9{,}81}} = \sqrt{28{,}13} = 5{,}3 \text{ s}$$
Závěr: Není to Macocha - je příliš mělká o téměř 60 m!

b) Rychlost dopadu

Výpočet rychlosti:

$$v = gt = 9{,}81 \times 4 = 39{,}24 \text{ m·s⁻¹} \approx 39{,}2 \text{ m·s⁻¹}$$

Převod na km·h⁻¹:

$$v = 39{,}2 \times 3{,}6 = 141 \text{ km·h⁻¹}$$
Výsledek: Kámen dopadl rychlostí 39,2 m·s⁻¹ = 141 km·h⁻¹
Pozor: Rychlost 141 km·h⁻¹ je smrtelně nebezpečná! Proto jsou bezpečnostní limity pro práce ve výškách tak přísné.

c) Graf dráhy s(t)

Výpočet dráhy v jednotlivých časech:

$$s(1\text{s}) = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 1^2 = 4{,}9 \text{ m}$$ $$s(2\text{s}) = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 2^2 = 19{,}6 \text{ m}$$ $$s(3\text{s}) = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 3^2 = 44{,}1 \text{ m}$$ $$s(4\text{s}) = \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 4^2 = 78{,}5 \text{ m}$$
Body grafu: (1s, 4,9m), (2s, 19,6m), (3s, 44,1m), (4s, 78,5m)
Tip: Graf s(t) je parabola - kvadratická funkce rostoucí se stále větším sklonem. Rychlost roste lineárně, ale dráha kvadraticky!

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpovědi:
  • a) Hloubka propasti: 78,5 m - není to Macocha (ta má 138 m)
  • b) Rychlost dopadu: 39,2 m·s⁻¹ = 141 km·h⁻¹
  • c) Graf s(t): parabola s body (1s; 4,9m), (2s; 19,6m), (3s; 44,1m), (4s; 78,5m)
Kontrola rozumnosti: Rychlost dopadu 141 km·h⁻¹ je extrémně vysoká - odpovídá pádům z velkých výšek. Hloubka 78,5 m je reálná pro menší propasti či štoly.
Alternativní způsob: Můžeme použít energetickou metodu: potenciální energie $mgh$ se přemění na kinetickou $\frac{1}{2}mv^2$, takže $v = \sqrt{2gh}$.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je rychlost dopadu tak vysoká? (Tip: kámen zrychluje celé 4 sekundy!)
  • Jak by se změnil čas pádu na Měsíci? (g = 1,6 m·s⁻²)
  • Proč je graf s(t) parabola, ale graf v(t) by byla přímka?
  • Od jaké výšky je pád smrtelně nebezpečný? (Tip: 30 m ≈ 2,5 s → 90 km·h⁻¹)
  • Jak by ovlivnil odpor vzduchu skutečné hodnoty?