66. Smíšené úlohy na zrychlení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Zrychlení se objevuje všude kolem nás - od cyklistů na Tour de France přes tramvaje v centru města až po padající předměty. Pochopení základních rovnic pro zrychlený pohyb je klíčem k řešení téměř jakékoliv kinematické situace v každodenním životě.

📋 Zadání

Počítejte následující úlohy (bez kalkulačky):

  1. Tadej Pogačar během pěti sekund zrychlil z 6 m·s⁻¹ na 14 m·s⁻¹. Jaké je jeho zrychlení?
  2. Tramvaj jela počáteční rychlostí 4 m·s⁻¹ a po dobu půl minuty zrychlovala se zrychlením 0,5 m·s⁻². Jaká byla její výsledná rychlost?
  3. Ze smrku spadla šiška na zem. Pád trval 1,4 sekundy. Jakou rychlostí šiška dopadla?
  4. Vlak po dobu jedné minuty zrychloval se zrychlením 0,3 m·s⁻², až dosáhl rychlosti 30 m·s⁻¹. Jaká byla jeho počáteční rychlost?
  5. Auto při najíždění na dálnici zrychlilo ze 72 km·h⁻¹ na 126 km·h⁻¹, přičemž jeho zrychlení bylo 2,5 m·s⁻². Za jak dlouho auto výsledné rychlosti dosáhlo?
  6. Auto brzdící jedoucí rychlostí 54 km·h⁻¹ prudce brzdí se zrychlením -4 m·s⁻². Za jak dlouho zastaví?

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Máme šest různých situací s rovnoměrně zrychleným pohybem. Pro každou použijeme základní kinematickou rovnici $v = v_0 + at$ a její přeuspořádání podle hledané veličiny.
Pozor na jednotky! Rychlosti v km·h⁻¹ musíte vždy převést na m·s⁻¹ dělením 3,6. Záporné zrychlení znamená zpomalení (brždění).
Přehled úloh:
  • a) Známe $v_0, v, t$ → hledáme $a$
  • b) Známe $v_0, a, t$ → hledáme $v$
  • c) Volný pád z klidu, známe $t$ → hledáme $v$
  • d) Známe $a, t, v$ → hledáme $v_0$
  • e) Známe $v_0, v, a$ → hledáme $t$ (převod jednotek!)
  • f) Známe $v_0, a, v = 0$ → hledáme $t$ (převod jednotek!)

⚙️ Krok 2: Výběr rovnic

Proč tyto rovnice? Základní kinematická rovnice $v = v_0 + at$ spojuje všechny potřebné veličiny. Pro volný pád používáme $v = gt$ (z klidu).

Základní kinematické rovnice:

$$v = v_0 + at \quad \text{(rychlost)}$$ $$a = \frac{v - v_0}{t} \quad \text{(zrychlení)}$$ $$v = gt \quad \text{(volný pád z klidu)}$$ $$\text{Převod: km·h⁻¹} \div 3{,}6 = \text{m·s⁻¹}$$
Praktická analogie: Kinematické rovnice jsou jako recepty v kuchařce - máte různé ingredience (známé veličiny) a pomocí správného "receptu" (rovnice) připravíte požadovaný "pokrm" (neznámou veličinu).

🔢 Krok 3: Výpočet všech úloh

a) Pogačarovo zrychlení

$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{14 - 6}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek a: $a = 1{,}6$ m·s⁻²

b) Výsledná rychlost tramvaje

$$v = v_0 + at = 4 + 0{,}5 \times 30 = 4 + 15 = 19 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek b: $v = 19$ m·s⁻¹ (≈ 68 km·h⁻¹)

c) Rychlost dopadu šišky (volný pád)

$$v = gt = 10 \times 1{,}4 = 14 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek c: $v = 14$ m·s⁻¹
Tip: Pro volný pád používáme $g = 10$ m·s⁻² (zaokrouhlené gravitační zrychlení)

d) Počáteční rychlost vlaku

$$v_0 = v - at = 30 - 0{,}3 \times 60 = 30 - 18 = 12 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek d: $v_0 = 12$ m·s⁻¹ (≈ 43 km·h⁻¹)

e) Čas zrychlení auta na dálnici

Převod jednotek:

$$v_0 = 72 \div 3{,}6 = 20 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 126 \div 3{,}6 = 35 \text{ m·s⁻¹}$$

Výpočet času:

$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{35 - 20}{2{,}5} = \frac{15}{2{,}5} = 6 \text{ s}$$
Výsledek e: $t = 6$ s

f) Čas brždění auta

Převod jednotek:

$$v_0 = 54 \div 3{,}6 = 15 \text{ m·s⁻¹}$$

Výpočet času (zastavení = v = 0):

$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 15}{-4} = \frac{15}{4} = 3{,}75 \text{ s}$$
Výsledek f: $t = 3{,}75$ s

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Souhrnné odpovědi:
  • a) Pogačarovo zrychlení: 1,6 m·s⁻²
  • b) Rychlost tramvaje: 19 m·s⁻¹
  • c) Rychlost dopadu šišky: 14 m·s⁻¹
  • d) Počáteční rychlost vlaku: 12 m·s⁻¹
  • e) Čas zrychlení auta: 6 s
  • f) Čas brždění auta: 3,75 s
Kontrola rozumnosti: Všechny výsledky jsou fyzikálně rozumné - sportovní cyklista má větší zrychlení než tramvaj, brždění trvá kratší dobu než zrychlení, rychlosti odpovídají reálným situacím.
Alternativní způsob: Místo algebraického přeuspořádání můžeme pro každou úlohu nakreslit graf v(t) a graficky určit hledanou veličinu ze sklonu nebo průsečíků.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnily výsledky, kdybychom uvažovali odpor vzduchu u šišky?
  • Proč má Pogačar větší zrychlení než tramvaj, ačkoliv je jeho hmotnost menší?
  • Jaký vliv má velikost záporného zrychlení na brzdnou dráhu?
  • Spočítejte, jakou dráhu urazí auto při úloze e) během zrychlování!
  • Která z úloh by se změnila, kdybychom uvažovali nerovnoměrné zrychlení?