66. Smíšené úlohy na zrychlení
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Zrychlení se objevuje všude kolem nás - od cyklistů na Tour de France přes tramvaje v centru města až po padající předměty. Pochopení základních rovnic pro zrychlený pohyb je klíčem k řešení téměř jakékoliv kinematické situace v každodenním životě.
📋 Zadání
Počítejte následující úlohy (bez kalkulačky):
- Tadej Pogačar během pěti sekund zrychlil z 6 m·s⁻¹ na 14 m·s⁻¹. Jaké je jeho zrychlení?
- Tramvaj jela počáteční rychlostí 4 m·s⁻¹ a po dobu půl minuty zrychlovala se zrychlením 0,5 m·s⁻². Jaká byla její výsledná rychlost?
- Ze smrku spadla šiška na zem. Pád trval 1,4 sekundy. Jakou rychlostí šiška dopadla?
- Vlak po dobu jedné minuty zrychloval se zrychlením 0,3 m·s⁻², až dosáhl rychlosti 30 m·s⁻¹. Jaká byla jeho počáteční rychlost?
- Auto při najíždění na dálnici zrychlilo ze 72 km·h⁻¹ na 126 km·h⁻¹, přičemž jeho zrychlení bylo 2,5 m·s⁻². Za jak dlouho auto výsledné rychlosti dosáhlo?
- Auto brzdící jedoucí rychlostí 54 km·h⁻¹ prudce brzdí se zrychlením -4 m·s⁻². Za jak dlouho zastaví?
💭 Krok 1: Analýza situace
Logika výběru: Máme šest různých situací s rovnoměrně zrychleným pohybem. Pro každou použijeme základní kinematickou rovnici $v = v_0 + at$ a její přeuspořádání podle hledané veličiny.
Pozor na jednotky! Rychlosti v km·h⁻¹ musíte vždy převést na m·s⁻¹ dělením 3,6. Záporné zrychlení znamená zpomalení (brždění).
Přehled úloh:
- a) Známe $v_0, v, t$ → hledáme $a$
- b) Známe $v_0, a, t$ → hledáme $v$
- c) Volný pád z klidu, známe $t$ → hledáme $v$
- d) Známe $a, t, v$ → hledáme $v_0$
- e) Známe $v_0, v, a$ → hledáme $t$ (převod jednotek!)
- f) Známe $v_0, a, v = 0$ → hledáme $t$ (převod jednotek!)
⚙️ Krok 2: Výběr rovnic
Proč tyto rovnice? Základní kinematická rovnice $v = v_0 + at$ spojuje všechny potřebné veličiny. Pro volný pád používáme $v = gt$ (z klidu).
Základní kinematické rovnice:
$$v = v_0 + at \quad \text{(rychlost)}$$ $$a = \frac{v - v_0}{t} \quad \text{(zrychlení)}$$ $$v = gt \quad \text{(volný pád z klidu)}$$ $$\text{Převod: km·h⁻¹} \div 3{,}6 = \text{m·s⁻¹}$$
Praktická analogie: Kinematické rovnice jsou jako recepty v kuchařce - máte různé ingredience (známé veličiny) a pomocí správného "receptu" (rovnice) připravíte požadovaný "pokrm" (neznámou veličinu).
🔢 Krok 3: Výpočet všech úloh
a) Pogačarovo zrychlení
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{14 - 6}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek a: $a = 1{,}6$ m·s⁻²
b) Výsledná rychlost tramvaje
$$v = v_0 + at = 4 + 0{,}5 \times 30 = 4 + 15 = 19 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek b: $v = 19$ m·s⁻¹ (≈ 68 km·h⁻¹)
c) Rychlost dopadu šišky (volný pád)
$$v = gt = 10 \times 1{,}4 = 14 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek c: $v = 14$ m·s⁻¹
Tip: Pro volný pád používáme $g = 10$ m·s⁻² (zaokrouhlené gravitační zrychlení)
d) Počáteční rychlost vlaku
$$v_0 = v - at = 30 - 0{,}3 \times 60 = 30 - 18 = 12 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek d: $v_0 = 12$ m·s⁻¹ (≈ 43 km·h⁻¹)
e) Čas zrychlení auta na dálnici
Převod jednotek:
$$v_0 = 72 \div 3{,}6 = 20 \text{ m·s⁻¹}$$ $$v = 126 \div 3{,}6 = 35 \text{ m·s⁻¹}$$Výpočet času:
$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{35 - 20}{2{,}5} = \frac{15}{2{,}5} = 6 \text{ s}$$
Výsledek e: $t = 6$ s
f) Čas brždění auta
Převod jednotek:
$$v_0 = 54 \div 3{,}6 = 15 \text{ m·s⁻¹}$$Výpočet času (zastavení = v = 0):
$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 15}{-4} = \frac{15}{4} = 3{,}75 \text{ s}$$
Výsledek f: $t = 3{,}75$ s
✅ Krok 4: Kontrola a odpověď
Souhrnné odpovědi:
- a) Pogačarovo zrychlení: 1,6 m·s⁻²
- b) Rychlost tramvaje: 19 m·s⁻¹
- c) Rychlost dopadu šišky: 14 m·s⁻¹
- d) Počáteční rychlost vlaku: 12 m·s⁻¹
- e) Čas zrychlení auta: 6 s
- f) Čas brždění auta: 3,75 s
Kontrola rozumnosti: Všechny výsledky jsou fyzikálně rozumné - sportovní cyklista má větší zrychlení než tramvaj, brždění trvá kratší dobu než zrychlení, rychlosti odpovídají reálným situacím.
Alternativní způsob: Místo algebraického přeuspořádání můžeme pro každou úlohu nakreslit graf v(t) a graficky určit hledanou veličinu ze sklonu nebo průsečíků.
🤔 Metakognitivní otázky
- Jak by se změnily výsledky, kdybychom uvažovali odpor vzduchu u šišky?
- Proč má Pogačar větší zrychlení než tramvaj, ačkoliv je jeho hmotnost menší?
- Jaký vliv má velikost záporného zrychlení na brzdnou dráhu?
- Spočítejte, jakou dráhu urazí auto při úloze e) během zrychlování!
- Která z úloh by se změnila, kdybychom uvažovali nerovnoměrné zrychlení?