65. Graf rychlosti vlaku

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Analýza grafů rychlosti je klíčová při řízení vlaků, aut i letadel. Strojvůdci používají podobné grafy pro optimální řízení rychlosti, inženýři je analyzují při navrhování vozidel a vyšetřovatelé při rekonstrukci nehod.

📋 Zadání

Určete zrychlení vlaku v jednotlivých úsecích na základě grafu v(t). [kredit: Fyzikální olympiáda]

Graf ukazuje rychlost vlaku v čase s těmito charakteristickými body:

  • 0 s: 0 m·s⁻¹ → 10 s: 7 m·s⁻¹
  • 10 s: 7 m·s⁻¹ → 25 s: 13 m·s⁻¹
  • 25 s: 13 m·s⁻¹ → 50 s: 17 m·s⁻¹
  • 50 s: 17 m·s⁻¹ → 60 s: 17 m·s⁻¹

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Graf v(t) je složen z lineárních úseků. Sklon každého úseku představuje zrychlení v daném intervalu. Musíme pro každý úsek vypočítat $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$.
Pozor na čtení grafu! Zrychlení = sklon přímky v grafu v(t). Strmější stoupání = větší zrychlení, vodorovná přímka = nulové zrychlení.
Identifikované úseky:
  • Úsek 1: t = 0-10 s, v = 0-7 m·s⁻¹
  • Úsek 2: t = 10-25 s, v = 7-13 m·s⁻¹
  • Úsek 3: t = 25-50 s, v = 13-17 m·s⁻¹
  • Úsek 4: t = 50-60 s, v = 17-17 m·s⁻¹ (konstantní)

⚙️ Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Zrychlení je definováno jako rychlost změny rychlosti. V grafu v(t) je zrychlení rovno sklonu přímky - čím strmější úsek, tím větší zrychlení.

Zrychlení ze sklonu grafu:

$$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$$

Kde:

  • $\Delta v$ = změna rychlosti v daném úseku
  • $\Delta t$ = doba trvání úseku
Praktická analogie: Představte si graf jako profil kopce - čím strmější svah, tím více "zrychlujete" při stoupání. Vodorovný úsek odpovídá rovince.

🔢 Krok 3: Výpočet

Úsek 1: Rozjezd vlaku (0-10 s)

Změna rychlosti a času:

$$\Delta v_1 = 7 - 0 = 7 \text{ m·s⁻¹}$$ $$\Delta t_1 = 10 - 0 = 10 \text{ s}$$

Zrychlení úseku 1:

$$a_1 = \frac{\Delta v_1}{\Delta t_1} = \frac{7}{10} = 0{,}7 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek: $a_1 = 0{,}7$ m·s⁻² (nejrychlejší zrychlování)

Úsek 2: Střední zrychlování (10-25 s)

Změna rychlosti a času:

$$\Delta v_2 = 13 - 7 = 6 \text{ m·s⁻¹}$$ $$\Delta t_2 = 25 - 10 = 15 \text{ s}$$

Zrychlení úseku 2:

$$a_2 = \frac{\Delta v_2}{\Delta t_2} = \frac{6}{15} = 0{,}4 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek: $a_2 = 0{,}4$ m·s⁻² (střední zrychlování)
Častá chyba: Zapomenout odečíst počáteční hodnoty! $\Delta t = t_2 - t_1$, ne jen $t_2$.

Úsek 3: Pomalé dozrychlování (25-50 s)

Změna rychlosti a času:

$$\Delta v_3 = 17 - 13 = 4 \text{ m·s⁻¹}$$ $$\Delta t_3 = 50 - 25 = 25 \text{ s}$$

Zrychlení úseku 3:

$$a_3 = \frac{\Delta v_3}{\Delta t_3} = \frac{4}{25} = 0{,}16 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek: $a_3 = 0{,}16$ m·s⁻² (nejpomalejší zrychlování)

Úsek 4: Konstantní rychlost (50-60 s)

Změna rychlosti a času:

$$\Delta v_4 = 17 - 17 = 0 \text{ m·s⁻¹}$$ $$\Delta t_4 = 60 - 50 = 10 \text{ s}$$

Zrychlení úseku 4:

$$a_4 = \frac{\Delta v_4}{\Delta t_4} = \frac{0}{10} = 0 \text{ m·s⁻²}$$
Výsledek: $a_4 = 0$ m·s⁻² (rovnoměrný pohyb)
Tip: Nulové zrychlení = vodorovná přímka v grafu = rovnoměrný pohyb konstantní rychlostí

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpověď - Zrychlení vlaku v jednotlivých úsecích:
  • Úsek 1 (0-10 s): $a_1 = 0{,}7$ m·s⁻²
  • Úsek 2 (10-25 s): $a_2 = 0{,}4$ m·s⁻²
  • Úsek 3 (25-50 s): $a_3 = 0{,}16$ m·s⁻²
  • Úsek 4 (50-60 s): $a_4 = 0$ m·s⁻²
Kontrola rozumnosti: Vlak postupně snižuje zrychlení až k nule - typické chování při rozjezdu a dosahování cestovní rychlosti. Největší zrychlení na začátku odpovídá praxi.
Alternativní způsob: Můžeme graf nakreslit a změřit sklony jednotlivých úseků pomocí tečen. Digitálně lze využít derivaci po částech lineární funkce.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč vlak nejvíce zrychluje na začátku a postupně zpomaluje zrychlování?
  • Jak by vypadal graf, kdyby vlak na konci začal brzdit?
  • Co říká největší sklon v grafu o výkonu vlaku?
  • Jak by vypadal odpovídající graf dráhy s(t) pro tento pohyb?
  • Jaký je fyzikální důvod postupného snižování zrychlení?