64. Brždění auta

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Situace brždění je klíčová pro bezpečnost na silnicích. Pochopení času potřebného k zpomalení pomáhá řidičům udržovat bezpečný odstup, dopravním inženýrům navrhovat bezpečné rychlosti a vyšetřovatelům rekonstruovat nehody.

📋 Zadání

Auto jedoucí rychlostí 50 km·h⁻¹ prudce brzdí se zrychlením -4 m·s⁻². Za jak dlouho zpomalí na 20 km·h⁻¹?

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o rovnoměrně zrychlený pohyb s negativním zrychlením (zpomalováním). Použijeme základní kinematickou rovnici $v = v_0 + at$ a vyjádříme z ní čas.
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v km·h⁻¹, ale zrychlení v m·s⁻². Musíme převést rychlosti do m·s⁻¹ dělením 3,6.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: $v_0 = 50$ km·h⁻¹ (převést na m·s⁻¹)
  • Konečná rychlost: $v = 20$ km·h⁻¹ (převést na m·s⁻¹)
  • Zrychlení: $a = -4$ m·s⁻² (záporné = zpomalování)
  • Hledáme: čas brždění $t$

⚙️ Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Známe počáteční a konečnou rychlost plus zrychlení. Základní kinematická rovnice $v = v_0 + at$ přímo souvisí všechny tyto veličiny s časem.

Základní kinematická rovnice:

$$v = v_0 + at$$

Vyjádření času:

$$t = \frac{v - v_0}{a}$$

Převod jednotek rychlosti:

$$\text{km·h⁻¹} \div 3{,}6 = \text{m·s⁻¹}$$
Praktická analogie: Představte si, že brzda "ubírá" každou sekundu stejné množství rychlosti - podobně jako když z bankovního účtu pravidelně ubírá stejnou částku.

🔢 Krok 3: Výpočet

Převod jednotek rychlosti

Počáteční rychlost:

$$v_0 = 50 \text{ km·h⁻¹} = \frac{50}{3{,}6} = 13{,}89 \text{ m·s⁻¹}$$

Konečná rychlost:

$$v = 20 \text{ km·h⁻¹} = \frac{20}{3{,}6} = 5{,}56 \text{ m·s⁻¹}$$
Převedené hodnoty: $v_0 = 13{,}89$ m·s⁻¹, $v = 5{,}56$ m·s⁻¹
Tip: Zapamatujte si převod: km·h⁻¹ ÷ 3,6 = m·s⁻¹ (odvodíme z 1000 m / 3600 s = 1/3,6)

Výpočet času brždění

Dosazení do rovnice:

$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{5{,}56 - 13{,}89}{-4} = \frac{-8{,}33}{-4} = 2{,}08 \text{ s}$$
Výsledek: Auto zpomalí za 2,08 sekundy
Pozor na znaménka! Zrychlení je záporné (brždění), změna rychlosti je také záporná (pokles). Záporné děleno záporným je kladné!

Kontrola výsledku

Ověření výpočtu:

Za 2,08 s auto zpomalí o:

$$\Delta v = a \times t = (-4) \times 2{,}08 = -8{,}32 \text{ m·s⁻¹}$$

Konečná rychlost:

$$v = v_0 + \Delta v = 13{,}89 + (-8{,}32) = 5{,}57 \text{ m·s⁻¹} \approx 5{,}56 \text{ m·s⁻¹}$$ ✓
Kontrola: Výpočet je správný!

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpověď: Auto zpomalí z 50 km·h⁻¹ na 20 km·h⁻¹ za 2,08 sekundy.
Kontrola rozumnosti: Čas zhruba 2 sekundy pro zpomalení o 30 km·h⁻¹ při silném brždění (-4 m·s⁻²) je realistický. Odpovídá praxi při nouzovém brždění na suché vozovce.
Alternativní způsob: Můžeme použít rovnici $s = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ k výpočtu brzdné dráhy, což je užitečné pro dopravní analýzy.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby bylo zrychlení jen -2 m·s⁻²?
  • Proč je důležité, aby řidiči dodržovali bezpečný odstup?
  • Jak ovlivňuje stav vozovky (mokro, led) hodnotu brzdného zrychlení?
  • Kolik metrů auto ujede během těchto 2,08 s brždění?
  • Jak souvisí brzný čas s reakcí řidiče při nebezpečí?