62. Arnoldův složený pohyb

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Složený pohyb je běžný v triatlonu, orientačním běhu, při plánování výletů nebo dokonce v logistice (doručování balíků různými způsoby dopravy). Umění rozložit cestu na úseky a spočítat celkový čas je klíčové pro efektivní plánování.

📋 Zadání

Arnold nejprve půl hodiny běží rychlostí 10 km·h⁻¹, poté dvě hodiny plave rychlostí 3 km·h⁻¹, následně půl hodiny obědvá ve školní jídelně a nakonec dvacet minut jede na kole rychlostí 24 km·h⁻¹. Nakreslete graf závislosti v(t) a s(t).

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o složený pohyb sestávající ze čtyř samostatných úseků s různými rychlostmi. Každý úsek řešíme zvlášť pomocí základního vztahu $s = v \times t$ a pak sestavujeme celkový přehled.
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v km·h⁻¹, časy v hodinách a minutách. 20 minut = 20/60 h = 1/3 h ≈ 0,33 h
Rozdělení na úseky:
  • Úsek 1: Běh - 0,5 h s rychlostí 10 km·h⁻¹
  • Úsek 2: Plavání - 2 h s rychlostí 3 km·h⁻¹
  • Úsek 3: Oběd - 0,5 h s rychlostí 0 km·h⁻¹ (stání)
  • Úsek 4: Kolo - 1/3 h s rychlostí 24 km·h⁻¹

⚙️ Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Pro každý úsek aplikujeme základní kinematickou rovnici rovnoměrného pohybu. Grafy pak sestavujeme z jednotlivých úseků jako po částech konstantní/lineární funkce.

Základní rovnice pro každý úsek:

$$s_i = v_i \times t_i$$

Celková dráha a čas:

$$s_{celkem} = \sum s_i, \quad t_{celkem} = \sum t_i$$

Průměrná rychlost:

$$v_{průměr} = \frac{s_{celkem}}{t_{celkem}}$$
Praktická analogie: Představte si GPS navigaci, která počítá celkový čas cesty složený z jízdy autem, chůze a čekání na spoj - každý úsek má jinou rychlost a čas.

🔢 Krok 3: Výpočet

Výpočet vzdáleností pro jednotlivé úseky

Úsek 1 - Běh:

$$s_1 = v_1 \times t_1 = 10 \times 0{,}5 = 5 \text{ km}$$

Úsek 2 - Plavání:

$$s_2 = v_2 \times t_2 = 3 \times 2 = 6 \text{ km}$$

Úsek 3 - Oběd:

$$s_3 = v_3 \times t_3 = 0 \times 0{,}5 = 0 \text{ km}$$

Úsek 4 - Kolo:

$$s_4 = v_4 \times t_4 = 24 \times \frac{1}{3} = 8 \text{ km}$$
Vzdálenosti úseků: 5 km + 6 km + 0 km + 8 km
Tip: I když se Arnold během oběda nepohybuje, čas se stále počítá - ovlivňuje průměrnou rychlost!

Celková statistika

Celkový čas:

$$t_{celkem} = 0{,}5 + 2 + 0{,}5 + 0{,}33 = 3{,}33 \text{ h} = 3 \text{ h } 20 \text{ min}$$

Celková dráha:

$$s_{celkem} = 5 + 6 + 0 + 8 = 19 \text{ km}$$

Průměrná rychlost:

$$v_{průměr} = \frac{19}{3{,}33} = 5{,}7 \text{ km·h⁻¹}$$
Výsledek: Celkem 19 km za 3 h 20 min, průměrná rychlost 5,7 km·h⁻¹
Pozor: Průměrná rychlost se počítá jako celková dráha děleno celkovým časem, včetně přestávek! Není to aritmetický průměr rychlostí.

Popis grafů

Graf rychlosti v(t) - schodišťová funkce:

  • 0 - 0,5 h: v = 10 km·h⁻¹ (běh)
  • 0,5 - 2,5 h: v = 3 km·h⁻¹ (plavání)
  • 2,5 - 3 h: v = 0 km·h⁻¹ (oběd)
  • 3 - 3,33 h: v = 24 km·h⁻¹ (kolo)
Charakteristika: Graf má ostré přechody mezi úseky

Graf dráhy s(t) - po částech lineární funkce:

$$s(0{,}5 \text{ h}) = 5 \text{ km}$$ $$s(2{,}5 \text{ h}) = 5 + 6 = 11 \text{ km}$$ $$s(3 \text{ h}) = 11 + 0 = 11 \text{ km}$$ (vodorovný úsek) $$s(3{,}33 \text{ h}) = 11 + 8 = 19 \text{ km}$$
Charakteristika: Různé sklony podle rychlosti, během oběda vodorovný

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpověď: Arnold ujde celkem 19 km za 3 h 20 min s průměrnou rychlostí 5,7 km·h⁻¹. Graf v(t) je schodišťový, graf s(t) po částech lineární s různými sklony.
Kontrola rozumnosti: Nejdelší úsek je plavání (6 km), nejrychlejší jízda na kole (24 km·h⁻¹). Průměrná rychlost 5,7 km·h⁻¹ je rozumná pro kombinaci různých aktivit včetně přestávky.
Alternativní způsob: Můžeme sestavit tabulku s časovými razítky a kumulativními vzdálenostmi, ze které přímo odečteme souřadnice pro vykreslení grafů.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jaký by byl tvar grafů, kdyby Arnold postupně zrychloval/zpomaloval při přechodech?
  • Jak by se změnila průměrná rychlost, kdyby si Arnold neobědval?
  • Proč je nejstrměji rostoucí část grafu s(t) při jízdě na kole?
  • Kolik času Arnold věnoval pohybu a kolik odpočinku?
  • Jak byste optimalizovali Arnoldův program pro co nejrychlejší průchod 19 km?