61. Rumcajs a Cipísek běží od zámku

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Dohánění je základní situace ve sportu (cyklistika, běh), dopravě (předjíždění, autobusové spoje) i při plánování logistiky. Například když se snažíte dohnat zpoždění či když rychlejší závodník startuje později v handicapovém závodě.

📋 Zadání

Rumcajs vyběhl ze zámku a běží rychlostí 5 m·s⁻¹. Za 10 minut po něm vyběhl Cipísek, který má mladé hnáty a běží rychlostí 8 m·s⁻¹. Jak daleko od zámku Rumcajse dohoní? Řešte početně i graficky!

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o klasický problém dohánění - rychlejší objekt startuje později a musí překonat náskok pomalejšího objektu. Klíčové je pochopit koncept relativní rychlosti přibližování.
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v m·s⁻¹, ale zpoždění je v minutách. Musíme převést: 10 min = 10 × 60 = 600 s
Dané hodnoty:
  • Rumcajsova rychlost: $v_R = 5$ m·s⁻¹
  • Cipískova rychlost: $v_C = 8$ m·s⁻¹
  • Cipískovo zpoždění: $t_{zpož} = 10$ min $= 600$ s
  • Hledáme: vzdálenost od zámku při dohonění

⚙️ Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Používáme koncept relativní rychlosti - rychlost, jakou se objekty k sobě přibližují. U dohánění je to rozdíl rychlostí (ne součet jako při setkávání!).

Náskok pomalejšího objektu:

$$s_{náskok} = v_R \times t_{zpož}$$

Relativní rychlost přibližování:

$$v_{rel} = v_C - v_R$$

Čas do dohonění:

$$t_{dohonění} = \frac{s_{náskok}}{v_{rel}}$$
Praktická analogie: Představte si rychlý vlak dohánějící pomalý nákladní vlak na stejné koleji - každou sekundu se vzájemná vzdálenost zmenší o rozdíl jejich rychlostí.

🔢 Krok 3: Výpočet

Rumcajsův náskok

Náskok za 10 minut běhu:

$$s_{náskok} = v_R \times t_{zpož} = 5 \times 600 = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km}$$
Výsledek: Rumcajs má náskok 3000 m

Relativní rychlost přibližování

Rychlost zmenšování vzdálenosti:

$$v_{rel} = v_C - v_R = 8 - 5 = 3 \text{ m·s⁻¹}$$
Výsledek: Cipísek zkracuje odstup o 3 m za sekundu
Tip: Relativní rychlost znamená, že kdyby Rumcajs stál, Cipísek by k němu běžel rychlostí 3 m·s⁻¹

Čas do dohonění

Čas potřebný k překonání náskoku:

$$t_{dohonění} = \frac{s_{náskok}}{v_{rel}} = \frac{3000}{3} = 1000 \text{ s}$$

Převod na minuty:

$$t_{dohonění} = \frac{1000}{60} = 16{,}67 \text{ min} = 16 \text{ min } 40 \text{ s}$$
Výsledek: Cipísek dohoní Rumcajse za 1000 s od svého startu
Pozor: Toto je čas od Cipískova startu! Rumcajs celkem běží 1000 + 600 = 1600 s

Vzdálenost od zámku

Výpočet z Cipískova pohybu:

$$s = v_C \times t_{dohonění} = 8 \times 1000 = 8000 \text{ m} = 8 \text{ km}$$

Kontrola z Rumcajsova pohybu:

$$s = v_R \times (t_{dohonění} + t_{zpož}) = 5 \times (1000 + 600) = 5 \times 1600 = 8000 \text{ m}$$ ✓
Výsledek: Cipísek dohoní Rumcajse 8 km od zámku

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpověď: Cipísek dohoní Rumcajse ve vzdálenosti 8 km od zámku po 16 minutách a 40 sekundách svého běhu.
Kontrola rozumnosti: Cipísek běží rychleji (8 vs 5 m·s⁻¹), má logicky šanci dohonění. Vzdálenost 8 km za ~27 minut celkového času je realistická pro rychlost 5 m·s⁻¹.
Alternativní způsob: Můžeme řešit rovnicí: $v_R \times (t + 600) = v_C \times t$, kde $t$ je čas od Cipískova startu. Po úpravě: $5(t + 600) = 8t$, tedy $t = 1000$ s.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Co by se stalo, kdyby měli oba stejnou rychlost? (Cipísek by nikdy nedohonil)
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby Cipísek běžel rychlostí 6 m·s⁻¹?
  • Proč používáme "relativní rychlost" místo počítání jednotlivých pozic?
  • Jak by vypadal graf s(t) pro oba běžce? Kde se protnou?
  • Jaký vliv má velikost zpoždění na výslednou vzdálenost dohonění?