60. Setkání na cestě Praha-Brno

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Situace ze zadání se běžně vyskytuje při koordinaci dopravy - např. když se dva řidiči domlouvají na setkání, při plánování závodů nebo dokonce při GPS sledování objektů. Dopravní dispečeři používají podobné výpočty pro optimalizaci tras autobusů a vlaků.

📋 Zadání

Alík vyjíždí z Prahy do Brna rychlostí 130 km·h⁻¹, zatímco Baryk vyjíždí z Brna rychlostí 100 km·h⁻¹. Vzdálenost Praha-Brno budiž 200 km.

a) Za jak dlouho se setkají, pokud vyrazí současně?

b) Na kolikátém kilometru se potkají, pokud Alík vyjede o půl hodiny později?

💭 Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o úlohu relativního pohybu dvou objektů jedoucích proti sobě. Klíčové je pochopit, že se vzdálenost mezi nimi zmenšuje rychlostí rovnou součtu jejich rychlostí.
Pozor na jednotky! Všechny rychlosti jsou v km·h⁻¹ a vzdálenost v km, takže čas dostaneme v hodinách. Pro převod na minuty násobíme 60.
Dané hodnoty:
  • Rychlost Alíka: $v_A = 130$ km·h⁻¹
  • Rychlost Baryka: $v_B = 100$ km·h⁻¹
  • Vzdálenost Praha-Brno: $s = 200$ km
  • Hledáme: a) čas setkání při současném startu, b) místo setkání při zpoždění

⚙️ Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Když se dva objekty pohybují proti sobě, jejich relativní rychlost je součtem obou rychlostí. Čas do setkání pak vypočítáme jako podíl vzdálenosti a relativní rychlosti.

Relativní rychlost:

$$v_{rel} = v_A + v_B$$

Čas do setkání:

$$t = \frac{s}{v_{rel}}$$
Praktická analogie: Představte si dva vlaky jedoucí proti sobě na stejné koleji - rychlost, jakou se k sobě přibližují, je součtem obou rychlostí, ne rozdílem!

🔢 Krok 3: Výpočet

Část a) Současný start

Relativní rychlost:

$$v_{rel} = v_A + v_B = 130 + 100 = 230 \text{ km·h⁻¹}$$
Výsledek: Relativní rychlost je 230 km·h⁻¹

Čas do setkání:

$$t = \frac{s}{v_{rel}} = \frac{200}{230} = 0{,}87 \text{ h} = 52{,}2 \text{ min}$$
Výsledek: Při současném startu se setkají za 52,2 minuty
Tip: Pro převod na minuty násobíme desetinnou část hodiny číslem 60: 0,87 × 60 = 52,2 min

Část b) Alík vyjíždí o půl hodiny později

Barykův náskok:

$$s_{náskok} = v_B \times 0{,}5 = 100 \times 0{,}5 = 50 \text{ km}$$
Výsledek: Baryk ujede 50 km před Alíkovým startem

Zbývající vzdálenost k překonání:

$$s_{zbývá} = 200 - 50 = 150 \text{ km}$$

Čas od Alíkova startu do setkání:

$$t_{Alík} = \frac{s_{zbývá}}{v_A + v_B} = \frac{150}{230} = 0{,}65 \text{ h} = 39 \text{ min}$$
Výsledek: Od Alíkova startu se setkají za 39 minut

Vzdálenost setkání od Prahy:

$$s_{setkání} = v_A \times t_{Alík} = 130 \times 0{,}65 = 84{,}5 \text{ km}$$
Výsledek: Setkají se 84,5 km od Prahy

✅ Krok 4: Kontrola a odpověď

Odpověď:
  • a) Při současném startu se setkají za 52,2 minuty
  • b) S půlhodinovým zpožděním se setkají na 84,5 km od Prahy
Kontrola rozumnosti: Ověření pro část b): Baryk ujede celkem $100 \times (0{,}5 + 0{,}65) = 115{,}5$ km od Brna, což odpovídá $200 - 115{,}5 = 84{,}5$ km od Prahy ✓
Alternativní způsob: Můžeme také řešit pomocí rovnic dráhy: $s_A = v_A \times t$ a $s_B = v_B \times (t + 0{,}5)$ s podmínkou $s_A + s_B = 200$ km.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč se při zpoždění setkají blíže k rychlejšímu objektu?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby oba měli stejnou rychlost?
  • Co kdyby jeli stejným směrem místo proti sobě?
  • Jak byste aplikovali tuto úlohu na setkání vlaků nebo letadel?
  • Jaký vliv má délka zpoždění na místo setkání?