59. Loď Helmut na řece

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Plavba po řece s proudem a proti proudu je klasická situace v dopravě! Kapitáni lodí, piloti hydroplánů i správci trajektů musí počítat s proudem řeky. Princip relativních rychlostí najdeš i u letadel ve větru nebo u pásových dopravníků.

Zadání úlohy

Loď Helmut pluje po řece. Cesta po proudu trvá 40 minut, cesta zpátky proti proudu 70 minut. Jak dlouho by trvala stejná cesta na klidné vodě?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Čas po proudu t₁ 40 min
Čas proti proudu t₂ 70 min
Rychlost lodi (klidná voda) v_l ? km/h
Rychlost proudu v_p ? km/h
Hledaný čas na klidné vodě t_klid ? min

Postup řešení

Použijeme principy relativních rychlostí a harmonického průměru.

Krok 1: Analýza situace a rychlostí

Na řece s proudem se rychlosti skládají vektorově:

Logika výběru: Po proudu se rychlosti sčítají (v_l + v_p), proti proudu se odčítají (v_l - v_p). Vzdálenost zůstává stejná.
Pozor na směry! Proud pomáhá při jízdě po proudu a brzdí při jízdě proti proudu. Musíme rozlišovat rychlost lodi vůči vodě a vůči břehu.
Vztahy rychlostí:
  • Po proudu: v_celková = v_l + v_p
  • Proti proudu: v_celková = v_l - v_p
  • Na klidné vodě: v_celková = v_l
  • Vzdálenost s zůstává stejná ve všech případech

Krok 2: Sestavení rovnic

Ze vztahu s = v × t pro každou část cesty:

Proč tyto rovnice? Vzdálenost je stejná ve všech třech případech, mění se pouze rychlost podle směru proudu.

Po proudu:

$$s = (v_l + v_p) \times t_1 = (v_l + v_p) \times 40$$

Proti proudu:

$$s = (v_l - v_p) \times t_2 = (v_l - v_p) \times 70$$

Na klidné vodě:

$$s = v_l \times t_{klid}$$
Praktická analogie: Jako eskalátor - nahoru jdeš rychleji (eskalátor + kroky), dolů pomaleji (kroky - eskalátor).

Krok 3: Řešení soustavy rovnic

Z rovnosti vzdáleností:

Rovnost vzdáleností: $$(v_l + v_p) \times 40 = (v_l - v_p) \times 70$$
Úprava rovnice: $$40v_l + 40v_p = 70v_l - 70v_p$$ $$110v_p = 30v_l$$ $$v_p = \frac{30}{110}v_l = \frac{3}{11}v_l$$
Tip pro řešení: Rychlost proudu je 3/11 rychlosti lodi - to je rozumný poměr pro řeku.

Krok 4: Výpočet času na klidné vodě

Dosadíme zpět do rovnice pro vzdálenost:

Vzdálenost z první části: $$s = (v_l + v_p) \times 40 = \left(v_l + \frac{3}{11}v_l\right) \times 40 = \frac{14}{11}v_l \times 40$$
Čas na klidné vodě: $$t_{klid} = \frac{s}{v_l} = \frac{\frac{14}{11}v_l \times 40}{v_l} = \frac{14 \times 40}{11} = \frac{560}{11} = 50{,}9 \text{ min}$$
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Čas na klidné vodě (51 min) je mezi časem po proudu (40 min) a proti proudu (70 min), ale není to aritmetický průměr!

Krok 5: Ověření harmonickým průměrem

Výsledek lze ověřit pomocí harmonického průměru:

Harmonický průměr: $$t_{klid} = \frac{2t_1t_2}{t_1 + t_2} = \frac{2 \times 40 \times 70}{40 + 70} = \frac{5600}{110} = 50{,}9 \text{ min}$$
Tip pro zapamatování: Pro pohyb s proudem a proti proudu platí harmonický průměr časů!

Krok 6: Kontrola a odpověď

Odpověď: Na klidné vodě by cesta trvala přibližně 51 minut.
Kontrola rozumnosti:
• Čas na klidné vodě (51 min) je mezi časem po proudu (40 min) a proti proudu (70 min) ✓
• Je blíže k aritmetickému průměru (55 min), ale není roven ✓
• Harmonický průměr dává stejný výsledek ✓
Alternativní způsob: Můžeme řešit graficky - načrtnout grafy vzdálenosti v čase pro všechny tři případy a najít průsečíky.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je čas na klidné vodě mezi časem po proudu a proti proudu?
  • Co by se stalo, kdyby proud byl rychlejší než loď?
  • Jak navigují letadla ve větru pomocí podobných principů?
  • Zkus odvodit obecný vzorec pro libovolné časy t₁ a t₂!