58. Anakin na hoře Milešovka

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Kdy potřebujeme znát průměrnou rychlost? Při plánování výletů, sportovních tréninků nebo dopravě. Pozor - průměrná rychlost NENÍ prostý aritmetický průměr rychlostí!

Zadání úlohy

Anakin každé ráno leze na Milešovku, aby se podíval zblízka na oblaka. Cestou nahoru jde rychlostí 3 km/h, nahoře se hned otočí a cestou dolů běží rychlostí 6 km/h. Jaká je jeho průměrná rychlost na celé trase?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Rychlost nahoru v₁ 3 km/h
Rychlost dolů v₂ 6 km/h
Vzdálenost nahoru s s km
Hledaná průměrná rychlost v_p ? km/h

Postup řešení

Výpočet průměrné rychlosti pro složený pohyb s různými rychlostmi na jednotlivých úsecích.

Krok 1: Analýza situace a zadaných hodnot

Anakin vykonává složený pohyb - nejprve pomalý pohyb nahoru, pak rychlejší pohyb dolů. Musíme najít průměrnou rychlost celé cesty.

Logika výběru: Průměrná rychlost se definuje jako celková dráha děleno celkovým časem, ne jako průměr rychlostí!
Pozor na častou chybu! Neuvažuj průměrnou rychlost jako (3 + 6)/2 = 4,5 km/h! To je častá chyba. Průměrná rychlost se počítá jako celková dráha děleno celkovým časem.
Dané hodnoty:
  • Rychlost nahoru: v₁ = 3 km/h
  • Rychlost dolů: v₂ = 6 km/h
  • Vzdálenost jedním směrem: s (neznámá, ale můžeme si zvolit)
  • Hledáme: průměrnou rychlost v_p = ?

Krok 2: Volba fyzikálního principu

Pro průměrnou rychlost platí základní definice:

Proč tuto definici? Průměrná rychlost je celková dráha za celkový čas - to je fyzikálně správná definice průměru pro rychlost.
$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}}$$

Protože vzdálenost jedním směrem neznáme, zvolíme si ji strategicky jako s = 1 km (výsledek bude nezávislý na této volbě).

Praktická analogie: Jako průměrná spotřeba auta - celkový počet litrů děleno celkovými kilometry, ne průměr spotřeb z různých úseků.

Krok 3: Výpočet celkové dráhy

Celková dráha je dvojnásobek vzdálenosti jedním směrem:

Celková dráha: $$s_{celková} = s + s = 2s$$

Pro s = 1 km: s_celková = 2 km

Tip pro obecnost: Volíme konkrétní hodnotu s = 1 km pro jednoduchost výpočtu, ale výsledek bude platit pro libovolnou vzdálenost.

Krok 4: Výpočet celkového času

Celkový čas je součet času nahoru a času dolů:

Čas nahoru: $$t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{1}{3} \text{ h}$$
Čas dolů: $$t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{1}{6} \text{ h}$$
Celkový čas: $$t_{celkový} = t_1 + t_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \text{ h}$$
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Čas nahoru (20 min) je dvojnásobný času dolů (10 min), protože rychlost dolů je dvojnásobná.

Krok 5: Výpočet průměrné rychlosti

Dosadíme do definice průměrné rychlosti:

Průměrná rychlost: $$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} = \frac{2 \text{ km}}{\frac{1}{2} \text{ h}} = 2 \times 2 = 4 \text{ km/h}$$
Tip pro obecný vzorec: Pro pohyb tam a zpět s rychlostmi v₁ a v₂: v_p = 2v₁v₂/(v₁ + v₂)

Krok 6: Kontrola a odpověď

Odpověď: Anakinova průměrná rychlost na celé trase je 4 km/h.
Kontrola rozumnosti:
• Průměrná rychlost (4 km/h) je mezi rychlostí nahoru (3 km/h) a dolů (6 km/h) ✓
• Je blíže k pomalejší rychlosti, protože nahoru trvá déle ✓
• Není to aritmetický průměr (4,5 km/h) ✓
Alternativní způsob: Obecný vzorec pro harmonický průměr: v_p = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2×3×6/(3+6) = 36/9 = 4 km/h
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč není průměrná rychlost prostý průměr rychlostí?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby Anakin šel stejně rychle oběma směry?
  • Co by se stalo, kdyby rychlost dolů byla nekonečně velká?
  • Aplikuj tento princip na průměrnou spotřebu paliva!