57. Tereza plave přes Labe

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Skládání rychlostí řek a plavců je praktická situace z reálného života! Navigace lodí, letadel ve větru nebo dokonce GPS systémy musí zohledňovat pohyb objektu vůči měnícímu se prostředí. Fyzika pohybu v proudu je všude kolem nás.

Zadání úlohy

Tereza plave přes Labe, protože spadl most. Proud má rychlost 2 km/h a v klidné vodě Terka plave rychlostí 4 km/h. Labe je široké 60 m.
a) Pokud se Terka bude snažit dostat na druhý břeh co nejdříve, jak dlouho ji to bude trvat? Jaká bude její rychlost vůči zemi?
b) Pokud Terka bude plavat tak, aby se její tělo neustále pohybovalo kolmo k břehu, jak dlouho ji to bude trvat? Pod jakým úhlem musí mít natočené tělo, aby se pohybovala pořád kolmo k břehu?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Rychlost plavání v_T 4 km/h
Rychlost proudu v_p 2 km/h
Šířka řeky s 60 m

Postup řešení

Řešíme dva různé způsoby překonání řeky s proudem.

Krok 1: Analýza situace a vztažné soustavy

Máme dva pohyby současně:

Logika výběru: Rychlost vůči zemi je vektorovým součtem rychlosti plavání a rychlosti proudu. Musíme rozlišovat pohyb vůči vodě a vůči břehu.
Pozor na vztažné soustavy! Rozlišuj rychlost "vůči vodě" a rychlost "vůči zemi"! Proud ovlivňuje výslednou trajektorii.
Dané hodnoty:
  • Rychlost Terezy vůči vodě: v_T = 4 km/h
  • Rychlost proudu vůči břehu: v_p = 2 km/h
  • Šířka řeky: s = 60 m = 0,06 km

Krok 2: Část a) Nejrychlejší překonání řeky

Nejrychleji překoná řeku, když plave kolmo k břehu (vůči vodě). Proud ji unese, ale kolmá složka zůstane plná.

Proč kolmo k břehu? Kolmá složka rychlosti je maximální, takže čas překonání šířky řeky je nejkratší.

Čas překonání:

$$t = \frac{s}{v_{kolmo}}$$
Praktická analogie: Jako když běžíš přímo do cíle - i když tě vítr unáší do strany, dostaneš se tam nejrychleji.
Převod rychlosti na m/s: $$v_{kolmo} = 4 \text{ km/h} = \frac{4000}{3600} \text{ m/s} = 1{,}11 \text{ m/s}$$
Čas překonání: $$t = \frac{60 \text{ m}}{1{,}11 \text{ m/s}} = 54 \text{ s}$$

Krok 3: Rychlost vůči zemi (část a)

Celková rychlost je vektorovým součtem plavání a proudu:

Rychlost vůči zemi (Pythagorova věta): $$v_{zeme} = \sqrt{v_T^2 + v_p^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 4{,}47 \text{ km/h}$$
Tip pro zapamatování: Při kolmých vektorech používáme Pythagorovu větu.

Krok 4: Část b) Pohyb kolmo k břehu

Tereza se musí natočit proti proudu, aby kompenzovala jeho vliv:

Úhel kompenzace: $$\sin \alpha = \frac{v_p}{v_T} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30°$$
Efektivní kolmá rychlost: $$v_{kolmo} = v_T \cos\alpha = 4 \cos(30°) = 4 \times 0{,}866 = 3{,}464 \text{ km/h}$$
Čas při kolmém pohybu: $$v_{kolmo} = \frac{3{,}464 \times 1000}{3600} = 0{,}962 \text{ m/s}$$ $$t = \frac{60}{0{,}962} = 62{,}4 \text{ s}$$
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Úhel 30° znamená, že Tereza musí mířit šikmo proti proudu, aby se pohybovala přímo přes řeku.

Krok 5: Kontrola a odpověď

Odpovědi:
a) Nejrychleji: 54 s, rychlost vůči zemi: 4,47 km/h
b) Kolmo k břehu: 62,4 s, úhel natočení: 30°
Kontrola rozumnosti:
• Kolmý pohyb trvá déle ✓ (část energie se "plýtvá" na kompenzaci)
• Rychlost vůči zemi > rychlost plavání ✓ (proud přispívá)
• Úhel 30° je rozumný ✓ (poloviční poměr rychlostí)
Alternativní způsob: Můžeme řešit graficky - nakreslit vektory rychlostí a změřit výslednici.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je rychlost vůči zemi větší než rychlost plavání?
  • Co by se stalo, kdyby byl proud rychlejší než plavec?
  • Jak navigují lodě v říčních deltách s proměnným proudem?
  • Aplikuj tuto úlohu na letadlo letící ve větru!