56. Složení dvou sil

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Vektorové skládání sil je klíčové v inženýrství! Při navrhování mostů, budov i při analýze pohybu objektů musíš umět pracovat s více silami současně. Od šroubů v konstrukci po tahy v lanech - všude se skládají vektory sil.

Zadání úlohy

Mějme dvě síly, tedy dva vektory, o velikosti 2 N a 1 N, které působí na ořech.
a) Jaká je max. a min. velikost jejich výslednice?
b) Jakou velikost má výslednice, působí-li na sebe kolmo?
c) Jaká musí být úhlová odchylka směru sil, pokud má výslednice stejnou velikost jako větší síla, tedy 2 N?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
První síla F₁ 2 N
Druhá síla F₂ 1 N
Úhel mezi silami α 0° až 180° °

Postup řešení

Řešíme tři různé případy vektorového skládání sil podle jejich vzájemné orientace.

Krok 1: Analýza situace a geometrie vektorů

Máme dva vektory sil, které lze uspořádat v různých úhlech:

Logika výběru: Velikost výslednice závisí na úhlu mezi vektory. Použijeme kosinovou větu pro obecný případ.
Pozor na vektory! Vektory se nesčítají jako obyčejná čísla! Musíme zohlednit jejich směr a velikost současně.
Dané hodnoty:
  • Síla F₁ = 2 N
  • Síla F₂ = 1 N
  • Úhel mezi vektory: 0° až 180°

Krok 2: Obecná rovnice pro výslednici

Pro výslednici dvou vektorů platí kosinová věta:

Proč kosinová věta? Tři vektory (F₁, F₂, F) tvoří trojúhelník. Kosinová věta platí pro jakýkoli trojúhelník.
$$F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos(\alpha)$$

kde α je úhel mezi vektory F₁ a F₂

Praktická analogie: Jako když táhneš saně dvěma lany - síla závisí na tom, jestli táhneš ve stejném směru nebo každý jinam.

Krok 3: Část a) Maximální a minimální výslednice

Využijeme krajní polohy vektorů:

Maximum (α = 0°, cos(0°) = 1): $$F_{max}^2 = 2^2 + 1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 4 + 1 + 4 = 9$$ $$F_{max} = 3 \text{ N}$$
Minimum (α = 180°, cos(180°) = -1): $$F_{min}^2 = 2^2 + 1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 1 - 4 = 1$$ $$F_{min} = 1 \text{ N}$$
Tip pro zapamatování: Maximum = síly se sčítají (stejný směr), Minimum = síly se odčítají (opačný směr).

Krok 4: Část b) Kolmé síly (α = 90°)

Pro kolmé vektory cos(90°) = 0:

Kolmé síly (α = 90°, cos(90°) = 0): $$F^2 = 2^2 + 1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 = 4 + 1 + 0 = 5$$ $$F = \sqrt{5} = 2{,}24 \text{ N}$$
Geometrický význam: Kolmé vektory tvoří pravoúhlý trojúhelník - platí Pythagorova věta.

Krok 5: Část c) Výslednice = 2 N

Hledáme úhel α pro F = 2 N:

Dosazení F = 2 N: $$4 = 4 + 1 + 4\cos(\alpha)$$ $$4 = 5 + 4\cos(\alpha)$$ $$-1 = 4\cos(\alpha)$$ $$\cos(\alpha) = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$
Úhel: $$\alpha = \arccos(-0{,}25) = 104{,}5°$$
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Úhel 104,5° je o něco více než pravý úhel - síly jsou rozevřené do tupého úhlu.

Krok 6: Kontrola a odpověď

Odpovědi:
a) Maximum: 3 N, Minimum: 1 N
b) Kolmé síly: 2,24 N
c) Pro výslednici 2 N: α = 104,5°
Kontrola rozumnosti:
• Maximum 3 N > jednotlivé síly ✓
• Minimum 1 N = |2-1| ✓
• Kolmé síly: √(2²+1²) = √5 = 2,24 N ✓
• Úhel 104,5° je mezi 90° a 180° ✓
Alternativní způsob: Můžeme použít grafické skládání vektorů - nakreslit je jako šipky a změřit výslednici.
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnily odpovědi, kdyby síly byly 3 N a 4 N?
  • Proč je výslednice kolmých sil větší než menší síla, ale menší než jejich součet?
  • V jakých praktických situacích se setkáváš se skládáním sil?
  • Jak souvisí skládání sil s Newtonovými zákony?