54. Převody jednotek hustoty a rychlosti
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Převody jednotek jsou základem technických výpočtů! V inženýrství, medicíně i běžném životě musíš rychle převádět mezi různými systémy jednotek. Hustota g/cm³ vs kg/m³ a rychlost km/h vs m/s patří mezi nejčastější převody.
Zadání úlohy
a) Odvoďte převodní vztah mezi jednotkami hustoty kg/m³ a g/cm³, tedy 1 g/cm³ = ...
b) Odvoďte převodní vztah mezi km/h a m/s, tedy 1 m/s = ...
Vstupní data
| Převod | Výchozí jednotka | Cílová jednotka | Výsledek |
|---|---|---|---|
| Hustota | 1 g/cm³ | ? kg/m³ | ? |
| Rychlost | 1 m/s | ? km/h | ? |
Postup řešení
Odvodíme převodní vztahy mezi dvěma páry jednotek systematicky.
Krok 1: Analýza úkolů
Budeme odvozovat převodní vztahy mezi dvěma páry jednotek systematicky.
Logika výběru: Převody jednotek odvozujeme z základních převodních konstant (1 g = 0,001 kg, 1 m = 100 cm atd.).
Pozor na mocniny! Při převodu objemů (m³, cm³) se převodní faktor umocňuje na třetí.
Úkoly:
- a) Převod hustoty: g/cm³ → kg/m³
- b) Převod rychlosti: m/s → km/h
Krok 2: Část a) Převod hustoty g/cm³ → kg/m³
Začneme základními převody hmotnosti a délky:
Proč tento postup? Hustota je poměr hmotnosti k objemu. Musíme převést jak čitatel (g → kg), tak jmenovatel (cm³ → m³).
Základní převody:
$$1 \text{ g} = 0{,}001 \text{ kg}$$ $$1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$$ $$1 \text{ m}^3 = (100 \text{ cm})^3 = 10^6 \text{ cm}^3$$
Praktická analogie: Jako když převádíš peníze - musíš znát kurz a správně přepočítat čitatel i jmenovatel.
Převod hustoty:
$$1 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{0{,}001 \text{ kg}}{10^{-6} \text{ m}^3} = \frac{0{,}001}{10^{-6}} \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$$
Krok 3: Část b) Převod rychlosti m/s → km/h
Nyní převod rychlosti z metrů za sekundu na kilometry za hodinu:
Základní převody:
$$1 \text{ m} = 0{,}001 \text{ km}$$ $$1 \text{ s} = \frac{1}{3600} \text{ h}$$
Převod rychlosti:
$$1 \frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{0{,}001 \text{ km}}{\frac{1}{3600} \text{ h}} = 0{,}001 \times 3600 \frac{\text{km}}{\text{h}} = 3{,}6 \frac{\text{km}}{\text{h}}$$
Tip pro zapamatování: m/s × 3,6 = km/h (a naopak km/h ÷ 3,6 = m/s)
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Rychlost 1 m/s = 3,6 km/h je pomalá chůze. Běžná rychlost auta 50 km/h = 13,9 m/s.
Krok 4: Kontrola a odpověď
Odpovědi:
a) 1 g/cm³ = 1000 kg/m³
b) 1 m/s = 3,6 km/h
a) 1 g/cm³ = 1000 kg/m³
b) 1 m/s = 3,6 km/h
Kontrola rozumnosti:
Hustota vody: ~1 g/cm³ = 1000 kg/m³ ✓
Rychlost chůze: ~1 m/s = 3,6 km/h ✓
Oba výsledky odpovídají běžné zkušenosti.
Hustota vody: ~1 g/cm³ = 1000 kg/m³ ✓
Rychlost chůze: ~1 m/s = 3,6 km/h ✓
Oba výsledky odpovídají běžné zkušenosti.
Alternativní způsob:
Pro hustotu: 1 g = 10⁻³ kg, 1 cm = 10⁻² m → (10⁻²)³ = 10⁻⁶ m³ → 10⁻³/10⁻⁶ = 10³ = 1000
Pro rychlost: 1000 m/km × 3600 s/h = 3600/1000 = 3,6
Pro hustotu: 1 g = 10⁻³ kg, 1 cm = 10⁻² m → (10⁻²)³ = 10⁻⁶ m³ → 10⁻³/10⁻⁶ = 10³ = 1000
Pro rychlost: 1000 m/km × 3600 s/h = 3600/1000 = 3,6
🤔 Metakognitivní otázky
- Jak rychle dokážeš převést 72 km/h na m/s? (Tip: dělíme 3,6)
- Proč má led hustotu nižší než voda (~0,92 g/cm³)?
- Jaké výhody má metrický systém oproti imperiálnímu?
- Zkus odvodit převod m³/s na l/min!