51. Zdravotnická injekce

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Přesné dávkování léků může rozhodovat o životě a smrti! Zdravotní sestry musí dokonale ovládat převody jednotek a výpočty objemů. Chyba v přepočtu může být fatální - proto je matematika v medicíně tak důležitá.

Zadání úlohy

Zdravotní sestra Cassandra zachraňuje životy. Má roztok atropinu v koncentraci 0,5 g/litr a injekční stříkačku o průměru 12 mm. O jakou vzdálenost musí stlačit píst stříkačky, aby pacientovi vpravila 2 mg atropinu? Zvládnete život zachránit i vy, nebo pacienta zabijete v důsledku neznalosti převodů jednotek?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Koncentrace atropinu c 0,5 g/litr
Průměr stříkačky d 12 mm
Požadovaná dávka m 2 mg
Hledaná vzdálenost h ? mm

Postup řešení

Výpočet rozdělíme na dva kroky: najít potřebný objem roztoku a vypočítat vzdálenost stlačení pístu.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Musíme najít, kolik roztoku potřebujeme pro správnou dávku, a pak vypočítat, jak daleko stlačit píst.

Logika výběru: Nejprve z koncentrace a požadované dávky vypočteme potřebný objem roztoku, pak z geometrie stříkačky vzdálenost stlačení pístu.
Pozor na jednotky! Pozor na jednotky koncentrace! 0,5 g/litr = 500 mg/litr, ale také = 0,5 mg/ml (protože 1 litr = 1000 ml).
Dané hodnoty:
  • Koncentrace: c = 0,5 g/litr = 500 mg/litr = 0,5 mg/ml
  • Požadovaná dávka: m = 2 mg
  • Průměr stříkačky: d = 12 mm = 1,2 cm
  • Hledáme: vzdálenost stlačení h = ?

Krok 2: Výběr rovnic

Nejprve vypočteme potřebný objem roztoku, pak použijeme rovnici pro objem válce:

Proč tyto rovnice? Koncentrace udává hmotnost látky v objemu roztoku. Objem stříkačky je válec s známým průměrem.

Objem roztoku z koncentrace:

$$V_{\text{roztok}} = \frac{m}{c}$$

Objem válce (stříkačky):

$$V_{\text{válec}} = S \cdot h = \pi r^2 \cdot h$$
Praktická analogie: Jako když mícháme sirup s vodou - koncentrace říká, kolik sirupu je v objemu nápoje. Stříkačka je válec, jako plechovka s pohyblivým dnem.

Krok 3: Výpočet objemu roztoku

Nejprve vypočteme, kolik ml roztoku potřebujeme:

Potřebný objem roztoku: $$V = \frac{m}{c} = \frac{2 \text{ mg}}{0{,}5 \text{ mg/ml}} = 4 \text{ ml} = 4 \text{ cm}^3$$
Tip pro převody: V medicíně: 1 ml = 1 cm³. Pro koncentrace: přepočti vše na stejné jednotky (mg a ml).

Krok 4: Výpočet vzdálenosti stlačení

Nyní vypočteme, jak daleko stlačit píst pro objem 4 cm³:

Poloměr stříkačky: $$r = \frac{d}{2} = \frac{1{,}2 \text{ cm}}{2} = 0{,}6 \text{ cm}$$
Plocha průřezu: $$S = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}6)^2 = \pi \cdot 0{,}36 = 1{,}13 \text{ cm}^2$$
Vzdálenost stlačení: $$h = \frac{V}{S} = \frac{4 \text{ cm}^3}{1{,}13 \text{ cm}^2} = 3{,}54 \text{ cm} = 35{,}4 \text{ mm}$$
📊 Pokročilý výpočet
Fyzikální význam: Vzdálenost 35,4 mm znamená, že píst se posune o více než 3 cm - to je docela velký posun pro malou dávku léku.

Krok 5: Kontrola a odpověď

Odpověď: Cassandra musí píst stlačit o 35,4 mm (neboli 3,54 cm).
Kontrola rozumnosti: 1,13 cm² × 3,54 cm = 4 cm³ ✓, což obsahuje 4 ml × 0,5 mg/ml = 2 mg atropinu ✓
Výsledek dává smysl - pro malou dávku léku je potřeba relativně velký posun pístu.
Alternativní způsob: Mohli bychom počítat přímo: h = m/(c × π × r²) = 2/(0,5 × π × 0,6²) = 35,4 mm
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil výpočet, kdyby měla stříkačku s dvojnásobným průměrem?
  • Proč je přesnost dávkování v medicíně tak kritická?
  • Jaké jsou výhody různých jednotek koncentrace (mg/ml, g/l, %)?
  • Zkus vypočítat, kolik by bylo potřeba stlačit píst pro dávku 1,5 mg!