49. Kompletní analýza pohybu

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Inženýři v automobilovém průmyslu musí analyzovat kompletne závodít koňské okruhu kombinující různé fáze - rozjezd, rovnoměrnou jízdu, brzdění a průjezd zatacek. Tato analýza pomáhá optimalizovat výkon a bezpečnost vozidel v reálných podmínkách.

Zadání úlohy

Formule projede závodít úsek rozdělený do tří fází:
Fáze 1: Rozjezd z klidu konstantním zrychlením 4 m/s² po dobu 5 sekund
Fáze 2: Rovnoměrná jízda dosaženou rychlostí po vzdálenost 800 m
Fáze 3: Brzdění na rychlost 10 m/s konstantním zpomaláním -6 m/s²

Vypočítám celkovou dráhu a celkový čas průjezdu všech tří fází.

Vstupní data

Fáze Typ pohybu Klíčové hodnoty Jednotky
Fáze 1 Zrychlený pohyb a₁ = 4 m/s², t₁ = 5 s, v₀ = 0 m/s², s, m/s
Fáze 2 Rovnoměrný pohyb s₂ = 800 m, v = konstanta m, m/s
Fáze 3 Zpomalovaný pohyb a₃ = -6 m/s², v₃ = 10 m/s m/s², m/s

Postup řešení

Tato úloha kombinuje všechny základní typy pohybu - zrychlený, rovnoměrný a zpomalovaný. Musíme analyzovat každou fázi zvlášť.

Krok 1: Analýza kompletní situace

Identifikujeme všechny tři typy pohybu a jejich posloupnost.

Logika výběru:

Máme tři navázující fáze:
🔸 Fáze 1: Zrychlování z klidu (v₀ = 0) → v₁
🔸 Fáze 2: Rovnoměrný pohyb rychlostí v₁
🔸 Fáze 3: Zpomalování z v₁ na v₃ = 10 m/s

Pozor na návaznost!

Končná rychlost každé fáze je počáteční rychlostí následující fáze. Musíme přesně sledovat posloupnost!

Dané hodnoty:
  • Fáze 1: a₁ = 4 m/s², t₁ = 5 s, v₀ = 0 m/s
  • Fáze 2: s₂ = 800 m, v = konst. (z fáze 1)
  • Fáze 3: a₃ = -6 m/s², v₃₈ᵢₙ = 10 m/s
  • Hledáme: celkovou dráhu a celkový čas

Krok 2: Výpočet Fáze 1 - Rozjezd

Vypočítáme dráhu, konečnou rychlost a čas pro zrychlovací fázi.

Proč tyto rovnice?

Pro rovnoměrně zrychlený pohyb z klidu používáme kinematické rovnice pro konstantní zrychlení.

Kinematické rovnice pro Fázi 1: $$v_1 = v_0 + a_1 \cdot t_1 = 0 + 4 \times 5 = 20 \text{ m/s}$$ $$s_1 = v_0 \cdot t_1 + \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot t_1^2 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 4 \times 25 = 50 \text{ m}$$
Praktická analogie:

Představte si start formule z boxu - řidič šlápe na plyn a auto se postupně zrychluje. Za 5 sekund dosáhne rychlosti 72 km/h (20 m/s) a ujede 50 metrů.

Výsledky Fáze 1:
  • Dráha: s₁ = 50 m
  • Končná rychlost: v₁ = 20 m/s
  • Čas: t₁ = 5 s

Krok 3: Výpočet Fáze 2 - Rovnoměrná jízda

Vypočítáme čas potřebný pro průjezd 800 m konstantní rychlostí.

Užitečný tip:

V této fázi se pohybujeme konstantní rychlostí 20 m/s (z fáze 1). Používáme nejjednodušší kinematickou rovnici.

Rovnice pro rovnoměrný pohyb: $$s_2 = v_1 \cdot t_2 \Rightarrow t_2 = \frac{s_2}{v_1} = \frac{800}{20} = 40 \text{ s}$$
Výsledky Fáze 2:
  • Dráha: s₂ = 800 m (daná)
  • Rychlost: v = 20 m/s (konstantní)
  • Čas: t₂ = 40 s

Krok 4: Výpočet Fáze 3 - Brzdění

Vypočítáme čas a dráhu pro zpomalování z 20 m/s na 10 m/s.

Kinematické rovnice pro Fázi 3: $$v_3 = v_1 + a_3 \cdot t_3 \Rightarrow 10 = 20 + (-6) \times t_3$$ $$t_3 = \frac{10 - 20}{-6} = \frac{-10}{-6} = 1{,}67 \text{ s}$$ $$s_3 = v_1 \cdot t_3 + \frac{1}{2} \cdot a_3 \cdot t_3^2 = 20 \times 1{,}67 + \frac{1}{2} \times (-6) \times (1{,}67)^2$$ $$s_3 = 33{,}4 - 8{,}35 = 25{,}05 \text{ m}$$
Výsledky Fáze 3:
  • Dráha: s₃ = 25,05 m
  • Počáteční rychlost: 20 m/s
  • Končná rychlost: 10 m/s
  • Čas: t₃ = 1,67 s

Krok 5: Celkové vyhodnocení a odpověď

Sečteme všechny dîlcí výsledky a formulujeme kompletní odpověď.

Odpověď - Kompletní analýza:
  • Celková dráha: sᵀᵉᴷᵉ = 50 + 800 + 25,05 = 875,05 m
  • Celkový čas: tᵀᵉᴷᵉ = 5 + 40 + 1,67 = 46,67 s
  • Průměrná rychlost: vᴘᴱᵝ = 875,05/46,67 = 18,75 m/s
  • Maximální rychlost: 20 m/s (72 km/h) v fázích 2 a 3
Kontrola rozumnosti:

✅ Celková dráha 875 m odpovídá krátkému úseku okruhu
✅ Čas 46,7 s je realistický pro závodní manévr
✅ Rychlosti 20 m/s (72 km/h) jsou typické pro okruhy
✅ Zpomalování z 20 na 10 m/s za 1,67 s je rozumné

Alternativní způsob:

Pro Fázi 3 bychom mohli použít rovnici v² = v₀² + 2as k přímému výpočtu dráhy: s = (v² - v₀²)/(2a) = (100 - 400)/(2×(-6)) = 25 m.

🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil celkový čas, kdyby Fáze 2 byla jen 400 m dlouhá?
  • Proč je průměrná rychlost (18,75 m/s) menší než maximální (20 m/s)?
  • Která fáze je nejefektivnější z hlediska času/dráhy?
  • Jak by ovlivnilo výsledek, kdyby nebyla Fáze 3 (zůstala by rychlost 20 m/s)?
  • Co je hlavní výhoda rozdělení složitého pohybu na jednodušší fáze?