48. Dělo - balistika

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Vojenští balistici musí přesně vypočítat trajektorii střely pro úspešný zásah cíle. Záleží na úhlu děla, počáteční rychlosti a vzdálenosti cíle. Balistické výpočty jsou základem pro moderní výzbrojní systémy a také pro sportovní střelbu.

Zadání úlohy

Dělo vypálí střelu rychlostí 400 m/s pod úhlem 30° k vodorovné rovině. Cíl se nachází ve vzdálenosti 12 km na stejné úrovni jako dělo. Zasáhne střela cíl? Jaká bude maximální výška trajektorie střely a jaký bude celkový dosah?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost střely v₀ 400 m/s
Úhl vypálení α 30 °
Vzdálenost cíle xᶜ 12 000 m
Gravitační zrychlení g 9,81 m/s²

Postup řešení

Balistická trajektorie je šikmý vrh s velkou počáteční rychlostí, kde analyzujeme celkový dosah a maximální výšku.

Krok 1: Analýza situace a rozložení rychlosti

Rozložíme počáteční rychlost na horizontální a vertikální komponenty.

Logika výběru:

Balistická trajektorie = šikmý vrh s vysokou rychlostí:
🔸 Horizontálně: rovnoměrný pohyb (bez odporu vzduchu)
🔸 Vertikálně: zrychlený pohyb (gravitace g = 9,81 m/s²)

Pozor na rychlost!

Rychlost 400 m/s je velmi vysoká (1440 km/h)! V reálu by byl významný odpor vzduchu, ale my ho zanedbáváme pro jednoduchý výpočet.

Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: v₀ = 400 m/s pod úhlem 30°
  • Cíl: 12 km = 12 000 m na stejné úrovni
  • Hledáme: celkový dosah, maximální výška, zda zasáhne cíl
Rozložení počáteční rychlosti: $$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(30°) = 400 \cdot \cos(30°) = 400 \cdot 0{,}866 = 346{,}4 \text{ m/s}$$ $$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(30°) = 400 \cdot \sin(30°) = 400 \cdot 0{,}5 = 200 \text{ m/s}$$

Krok 2: Výpočet celkového dosahu

Vypočítáme, jak daleko střela doletí, pokud dopadne na stejné úrovni.

Proč tuto rovnici?

Pro šikmý vrh na rovinném terénu existuje přímý vzorec pro dosah, který závisí na úhlu a počáteční rychlosti.

Vzorec pro dosah šikmého vrhu: $$R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}$$

Kde sin(2×30°) = sin(60°) = √3/2 ≈ 0,866

Praktická analogie:

Představte si hod kameníčkem - čím rychleji a pod lepším úhlem hodíte, tím dál doletí. Dělo funguje na stejném principu, jen s mnohem vyšší rychlostí!

Výpočet dosahu: $$R = \frac{400^2 \cdot \sin(60°)}{9{,}81} = \frac{160\,000 \cdot 0{,}866}{9{,}81} = \frac{138\,560}{9{,}81} = 14\,127 \text{ m}$$ $$R = 14{,}13 \text{ km}$$

Krok 3: Výpočet maximální výšky

Vypočítáme nejvyšší bod trajektorie střely.

Užitečný tip:

Maximální výška se dosáhne v polovině času letu, kdy se vertikální rychlost stává nulovou.

Vzorec pro maximální výšku: $$h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{(v_0 \cdot \sin(\alpha))^2}{2g}$$
Výpočet maximální výšky: $$h_{max} = \frac{200^2}{2 \times 9{,}81} = \frac{40\,000}{19{,}62} = 2\,039 \text{ m}$$ $$h_{max} = 2{,}04 \text{ km}$$

Krok 4: Vyhodnocení zásahu cíle a odpověď

Porovnáme vypočítaný dosah se vzdáleností cíle a zodpovíme všechny otázky.

Odpověď:
  • Celkový dosah: R = 14,13 km
  • Maximální výška: hₘₐₓ = 2,04 km
  • Vzdálenost cíle: 12 km
  • Výsledek: ✅ ANO, střela cíl zasáhne!
  • Střela dosáhne 14,13 km, což je více než potřebných 12 km.
Kontrola rozumnosti:

✅ Dosah 14 km je realistický pro dělo s rychlostí 400 m/s
✅ Výška 2 km odpovídá balistickým trajektoriím
✅ Úhl 30° je optimální pro kombinaci dosahu a přesnosti
⚠️ V reálu by odpor vzduchu významně snížil dosah

Alternativní způsob:

Mohli bychom vypočítat čas letu t = 2v₀ᵧ/g = 40,8 s a pak dosah R = v₀ₓ·t = 14,13 km. Výsledek by byl stejný.

🤔 Metakognitivní otázky
  • Při jakém úhlu by byl dosah největší (teoreticky 45°)?
  • Jak by ovlivnil výsledek odpor vzduchu při tak vysoké rychlosti?
  • Co by se stalo, kdyby cíl byl na kopci 500 m vysokém?
  • Proč jsou balistické výpočty důležité pro vojenští aplikace?
  • Jaké další faktory musí balistici zohlednit (vítr, rotace Země, atd.)?