47. Basketbal - střelba

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Basketbalovm hráči a trenéři potřebují rozumět fyzice střelby, aby zlepšili přesnost. Úhl vystupřelení míče ovlivňuje nejen dosah, ale i trajektorii. Sportovní analýza pomáhá hráčům najti optimální techniku pro různé vzdálenosti od koše.

Zadání úlohy

Basketbalista střílí míč z výšky 2 m rychlostí 12 m/s pod úhlem 45° k vodorovné rovině. Koš je ve výšce 3,05 m a vzdálen 7 m od hráče. Projde míč košem? V jaké výšce bude míč ve vzdálenosti 7 m?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost v₀ 12 m/s
Úhl vystupřelení α 45 °
Výška hráče h₁ 2 m
Výška koše h₂ 3,05 m
Vzdálenost koše x 7 m
Gravitační zrychlení g 9,81 m/s²

Postup řešení

Šikmý vrh je složený pohyb se specifickým úhlem, který určuje trajektorii projektilu.

Krok 1: Analýza situace a rozložení rychlosti

Rozložíme počáteční rychlost na horizontální a vertikální komponenty.

Logika výběru:

Šikmý vrh = kombinace dvou pohybů:
🔸 Horizontálně: rovnoměrný pohyb (aₓ = 0)
🔸 Vertikálně: zrychlený pohyb (aᵧ = -g = -9,81 m/s²)

Pozor na úhly!

Úhl 45° je v radiánech π/4 ≈ 0,785 rad. Pro goniometrické funkce: cos(45°) = sin(45°) = √2/2 ≈ 0,707.

Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: v₀ = 12 m/s pod úhlem 45°
  • Výška hráče: h₁ = 2 m
  • Výška koše: h₂ = 3,05 m
  • Hledáme: výšku míče ve vzdálenosti 7 m
Rozložení počáteční rychlosti: $$v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(45°) = 12 \cdot 0{,}707 = 8{,}48 \text{ m/s}$$ $$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(45°) = 12 \cdot 0{,}707 = 8{,}48 \text{ m/s}$$

Krok 2: Výpočet času pro dosah koše

Nejdříve musíme najít čas, za který míč urazí 7 m horizontálně.

Proč tuto rovnici?

V horizontálním směru je pohyb rovnoměrný, proto používáme jednoduchou rovnici x = vₓ·t.

Rovnice pro horizontální pohyb: $$x = v_{0x} \cdot t \Rightarrow t = \frac{x}{v_{0x}}$$
Praktická analogie:

Představte si, že autím jedem konštantní rychlostí - čas do cíle závisí pouze na vzdálenosti a rychlosti. Stejně u basketbalového míče v horizontálním směru!

Výpočet času: $$t = \frac{x}{v_{0x}} = \frac{7}{8{,}48} = 0{,}826 \text{ s}$$

Krok 3: Výpočet výšky míče po čase t

Nyní vypočítáme, v jaké výšce se bude míč nacházet po 0,826 s.

Užitečný tip:

Ve vertikálním směru působí gravitace jako záporné zrychlení. Míč nejdříve stoupá, pak klesá.

Rovnice pro vertikální pohyb: $$y = h_1 + v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$

Kde h₁ = 2 m je počáteční výška hráče

Výpočet výšky: $$y = 2 + 8{,}48 \times 0{,}826 - \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times (0{,}826)^2$$ $$y = 2 + 7{,}00 - \frac{1}{2} \times 9{,}81 \times 0{,}682$$ $$y = 2 + 7{,}00 - 3{,}35 = 5{,}65 \text{ m}$$

Krok 4: Porovnání s výškou koše a odpověď

Porovnáme vypočítanou výšku s výškou koše a zodpovíme otázku.

Odpověď:
  • Výška míče po 7 m: y = 5,65 m
  • Výška koše: h₂ = 3,05 m
  • Výsledek: Míč projde NAD košem - je příliš vysoko!
  • Míč bude ve vzdálenosti 7 m ve výšce 5,65 m, což je o 2,6 m výš než koš.
Kontrola rozumnosti:

✅ Výška 5,65 m je realistická pro míč vystupřelený pod 45° rychlostí 12 m/s
✅ Čas 0,83 s odpovídá rychlé basketbalové střelbě
⚠️ Míč je příliš vysoko - hráč by potřeboval menší úhl nebo rychlost

Alternativní způsob:

Mohli bychom použít rovnici trajektorie šikmého vrhu:
y = x·tg(α) - gx²/(2v₀²cos²(α)) + h₁, kde přímo dosadíme x = 7 m.

🤔 Metakognitivní otázky
  • Při jakém úhlu by míč proletel přesně košem ve výšce 3,05 m?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby hráč střílel rychlostí 10 m/s?
  • Proč je úhl 45° teoreticky optimální pro největší dosah?
  • Jak ovlivňuje výška hráče trajektorii míče?
  • Co by se stalo, kdyby nebylo gravitační pole?