46. Fontána - vodní paprsek

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Projektování fontán v parcích a zahradách vyžaduje přesný výpočet trajektorie vodního paprsku. Inženýři musí určit, jak daleko dosáhne vodní paprsek při dané výšce a rychlosti trysky, aby fontána vypadala esteticky a nevystříkala návštěvníky.

Zadání úlohy

Z fontány tryská voda vodorovně rychlostí 8 m/s z výšky 2,5 m nad zemí. Na jakou vzdálenost od fontány dopadne vodní paprsek na zem? Jak dlouho bude paprsek ve vzduchu?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost (vodorovná) v₀ 8 m/s
Výška trysky nad zemí h 2,5 m
Gravitační zrychlení g 9,81 m/s²

Postup řešení

Vodorovný vrh je složený pohyb - v horizontálním směru rovnoměrný, ve vertikálním směru volný pád.

Krok 1: Analýza situace

Identifikujeme typ pohybu a rozložíme jej na komponenty.

Logika výběru:

Vodorovný vrh = kombinace dvou nezávislých pohybů:
🔸 Horizontálně: rovnoměrný pohyb (v₀ = 8 m/s, a = 0)
🔸 Vertikálně: volný pád (v₀ = 0, a = g = 9,81 m/s²)

Pozor na jednotky!

Všechny hodnoty jsou již v základních jednotkách SI. Počáteční rychlost je pouze horizontální - vertikální složka je nulová!

Dané hodnoty:
  • Horizontální rychlost: v₀ₓ = 8 m/s
  • Vertikální rychlost: v₀ᵧ = 0 m/s (vodorovný vrh)
  • Výška: h = 2,5 m
  • Hledáme: čas letu t a dosah x

Krok 2: Výpočet času letu

Nejdříve musíme najít čas, po který je paprsek ve vzduchu.

Proč tuto rovnici?

Čas letu závisí pouze na vertikálním pohybu. Používáme rovnici pro volný pád z výšky h s nulovou počáteční vertikální rychlostí.

Rovnice pro vertikální pohyb: $$h = v_{0y} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2$$

Kde v₀ᵧ = 0 (vodorovný vrh), takže:

$$h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Praktická analogie:

Představte si, že pustíte míček z okna - čas pádu závisí pouze na výšce, ne na tom, jak rychle míček hodíte horizontálně. Stejně tak u fontány!

Výpočet času letu: $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2{,}5}{9{,}81}} = \sqrt{\frac{5}{9{,}81}} = \sqrt{0{,}510} = 0{,}714 \text{ s}$$

Krok 3: Výpočet horizontálního dosahu

Nyní můžeme vypočítat, jak daleko dosáhne vodní paprsek.

Užitečný tip:

V horizontálním směru se paprsek pohybuje rovnoměrně - žádné zrychlení! Gravitace působí pouze vertikálně.

Rovnice pro horizontální pohyb: $$x = v_{0x} \cdot t$$

Kde v₀ₓ = 8 m/s a t = 0,714 s

Výpočet dosahu: $$x = v_{0x} \cdot t = 8 \times 0{,}714 = 5{,}71 \text{ m}$$

Krok 4: Kontrola a odpověď

Ověříme rozumnost výsledků a formulujeme kompletní odpověď.

Odpověď:
  • Čas letu: t = 0,71 s
  • Horizontální dosah: x = 5,7 m
  • Vodní paprsek dopadne 5,7 metru od fontány po 0,71 sekundě letu.
Kontrola rozumnosti:

✅ Čas 0,7 s je realistický pro pád z 2,5 m výšky
✅ Dosah 5,7 m je rozumný pro fontánu s rychlostí 8 m/s
✅ Výsledek odpovídá běžným fontánám v parcích

Alternativní způsob:

Mohli bychom použít parametrické rovnice trajektorie:
x(t) = v₀ₓ·t a y(t) = h - ½gt², pak eliminovat t a získat y = f(x).

🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil dosah, kdybychom zvýšili rychlost trysky na dvojnásobek?
  • Proč nezávisí čas letu na horizontální rychlosti?
  • Jak by ovlivnil výsledek odpor vzduchu v reálné situaci?
  • Při jaké rychlosti by dosah fontány byl 10 metrů?
  • Proč je trajektorie vodního paprsku parabola?