42. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Průmyslové stroje, větrné elektrárny, centrifugy v laboratořích a výrobní linky - všechny spoléhají na přesnou kontrolu otáček hřídelů. RPM (revolutions per minute) je základní jednotka v technické praxi. Znalost rotační kinematiky umožňuje navrhovat efektivní stroje a optimalizovat jejich výkon.

Zadání úlohy

Určete úhlovou rychlost hřídele, která vykoná 120 otáček za 1 minutu. Najděte periodu a frekvenci tohoto pohybu.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počet otáček za minutu n 120 otáček/min

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Analyzujeme typ pohybu a sjednotíme jednotky pro výpočet.

Analýza:

Identifikujeme typ pohybu a potřebné převody jednotek podle zadání.

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Vybereme vhodnou kinematickou rovnici podle typu pohybu.

Kinematické rovnice:
  • Rovnoměrný pohyb: $s = v \cdot t$
  • Zrychlený pohyb: $s = v_0 \cdot t + \frac12 \cdot a \cdot t^2$
  • Rychlost při zrychleném pohybu: $v = v_0 + a \cdot t$

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Převod RPM na základní jednotky

$$N = 120 \text{ RPM} = \frac{120 \text{ otáček}}{1 \text{ min}} = \frac{120 \text{ otáček}}{60 \text{ s}} = 2 \text{ otáček/s}$$

Časové jednotky:

  • Celkový čas: t = 1 min = 60 s
  • Počet otáček za minutu: N = 120
  • Počet otáček za sekundu: N/t = 120/60 = 2

Krok 4: Výpočet frekvence

Frekvence = počet otáček za sekundu

f = N/t = 120 otáček / 60 s = 2 Hz

Krok 5: Výpočet periody

Perioda = čas na jednu otáčku

T = 1/f = 1/2 = 0,5 s

Krok 6: Výpočet úhlové rychlosti

Úhlová rychlost pomocí frekvence:

ω = 2πf = 2π × 2 = 4π rad/s ≈ 12,57 rad/s

Ověření: ω = 2π/T = 2π/0,5 = 4π rad/s ✅

Krok 7: Kontrola výsledku a odpověď

Interpretace výsledků:

Odpověď:
  • Frekvence: 2 Hz (2 otáčky za sekundu)
  • Perioda: 0,5 s (doba jedné otáčky)
  • Úhlová rychlost: 4π ≈ 12,57 rad/s

Technický kontext: 120 RPM představuje pomalé, kontrolované otáčky typické pro těžké průmyslové stroje, míchačky nebo pomalé převody.