41. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Cyklistika, motocykly, průmyslové stroje a větrné elektrárny - rotace kol a rotorů pohání svět! Sportovní trenéři analyzují kadenci šlapání, inženýři navrhují převodovky, elektrikáři počítají otáčky generátorů. Od Tour de France po větrné elektrárny - všude se točí a otáčí!

Zadání úlohy

Kolo bicyklu má průměr 0,5 m a vykoná 7 otáček za sekundu. Určete úhlovou rychlost a rychlost otáčení bodu na plášti kola.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Průměr kola d 0,5 m
Poloměr kola r 0,25 m
Frekvence otáčení f 7 otáček/s

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Identifikujeme známé hodnoty a převedeme na základní jednotky.

Logika výběru:

Jde o rovnoměrný rotační pohyb - kolo se otáčí konstantní rychlostí. Musíme rozlišovat mezi úhlovou rychlostí (rad/s) a obvodovou rychlostí (m/s).

Pozor na jednotky!

Poloměr = průměr ÷ 2! Zadán je průměr 0,5 m → poloměr = 0,25 m. Frekvence je již v Hz (otáčky za sekundu).

Dané hodnoty:
  • Průměr: d = 0,5 m → poloměr: r = 0,25 m
  • Frekvence: f = 7 otáček za sekundu = 7 Hz
  • Typ pohybu: rovnoměrný rotační pohyb
  • Hledáme: úhlovou rychlost ω, obvodovou rychlost v

Krok 2: Výběr fyzikálních rovnic pro rotační pohyb

Pro kruhový pohyb platí vztahy odlišné od lineárního pohybu.

Proč tyto rovnice?

Kruhový pohyb vyžaduje úhlové veličiny. Frekvence udává otáčky za sekundu, úhlová rychlost radiány za sekundu, obvodová rychlost metrů za sekundu na obvodu.

Základní vztahy pro rotaci:
  • Úhlová rychlost: $\omega = 2\pi f$ (rad/s)
  • Obvodová rychlost: $v = \omega r$ (m/s)
  • Kontrolní vztah: $v = f \cdot L = f \cdot 2\pi r$ (m/s)
Praktická analogie:

Jako když sledujete kolo jedoucího auta - čím rychleji se otáčí, tím rychleji auto jede. Bod na obvodu kola se pohybuje přesně rychlostí auta (bez prokluzu)!

Krok 3: Výpočet úhlové rychlosti

Úhlová rychlost vyjadřuje, kolik radiánů se otočí za sekundu:

Úhlová rychlost:
📐 Úhlová rychlost
$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 7 = 14\pi\,\text{rad·s}^{-1}$$

Číselně: ω = 14π ≈ 44,0 rad·s⁻¹

Krok 4: Výpočet obvodové rychlosti

Obvodová rychlost = rychlost bodu na obvodu kola:

Obvodová rychlost:
📐 Obvodová rychlost
$$v = \omega r = 44{,}0 \times 0{,}25 = 11{,}0\,\text{m·s}^{-1}$$

Převod na km·h⁻¹: v = 11,0 × 3,6 = 39,6 km·h⁻¹

Krok 5: Alternativní kontrolní výpočet

Ověříme výsledek pomocí obvodu kola a frekvence:

Kontrolní výpočet přes obvod:
📐 Kontrolní výpočet
$$\text{Obvod kola:}\quad L = 2\pi r = 2\pi \times 0{,}25 = 1{,}57\,\text{m}$$ $$\text{Rychlost:}\quad v = f \times L = 7 \times 1{,}57 = 11{,}0\,\text{m·s}^{-1} \checkmark$$

Výsledky se shodují! Obvodová rychlost 11 m/s odpovídá rychlému sjezdu z kopce.

Užitečný tip:

Perioda otáčky: T = 1/f = 1/7 ≈ 0,14 s na jednu otáčku. To je velmi rychlé otáčení!

Krok 6: Kontrola výsledku a odpověď

Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme kompletní odpověď.

Odpověď:
  • Úhlová rychlost: 44,0 rad·s⁻¹ (14π rad·s⁻¹)
  • Rychlost na plášti: 11,0 m·s⁻¹ = 39,6 km·h⁻¹
Kontrola rozumnosti:

40 km·h⁻¹ odpovídá rychlému sjezdu z kopce nebo sprintu! 7 otáček za sekundu je velmi rychlé, ale reálné pro závodní cyklistiku.

Alternativní způsob:

Můžeme počítat přímo přes obvod: v = f × 2πr = 7 × 2π × 0,25 = 11,0 m/s

🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je obvodová rychlost kola stejná jako rychlost cyklisty?
  • Jak byste změřili frekvenci otáčení kola při skutečné jízdě?
  • Co by se stalo s rychlostí při větším průměru kola?
  • Jak souvisí tento výpočet s převody na kole?
  • Proč mají závodní kola větší průměr než dětská kola?