40. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Vinylové desky, DJ mixéry, průmyslové centrifugy a karuvely v zábavních parcích - rotační pohyb je základem moderní techniky a zábavy! DJ mixéři upravují rychlost gramofonů pro mixování, laboratorníci centrifugují vzorky krve, inženýři navrhují ventilátory a turbíny. Od hudební produkce po větrné elektrárny - rotace pohání svět!

Zadání úlohy

Gramofon se za minutu otočí 33 krát. Vypočítejte:
a) Perioda a frekvence
b) Úhlová a obvodová rychlost (pro r = 0,12 m)

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počet otáček za minutu n 33 otáček/min
Poloměr desky r 0,12 m

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Analyzujeme typ pohybu a identifikujeme klíčové veličiny rotačního pohybu.

Logika výběru:

Jde o rovnoměrný rotační pohyb - gramofon se otáčí konstantní rychlostí. Musíme rozlišovat mezi úhlovou rychlostí (rad/s) a obvodovou rychlostí (m/s).

Pozor na jednotky!

33 otáček za MINUTU → musíme převést na sekundy! RPM (revolutions per minute) ≠ Hz (hertz = otáčky za sekundu)

Dané hodnoty:
  • Počet otáček: n = 33 za minutu (33 RPM)
  • Poloměr desky: r = 0,12 m
  • Hledáme: frekvenci f, periodu T, úhlovou rychlost ω, obvodovou rychlost v

Krok 2: Výběr fyzikálních rovnic pro rotační pohyb

Pro rotační pohyb používáme speciální sadu rovnic odlišných od lineárního pohybu.

Proč tyto rovnice?

Rotační pohyb vyžaduje úhlové veličiny. Frekvence udává počet otáček za sekundu, perioda čas jedné otáčky, úhlová rychlost radiány za sekundu.

Základní rovnice rotačního pohybu:
  • Frekvence: $f = \frac{n}{t}$ (Hz)
  • Perioda: $T = \frac{1}{f}$ (s)
  • Úhlová rychlost: $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$ (rad/s)
  • Obvodová rychlost: $v = \omega r$ (m/s)
Praktická analogie:

Jako když sledujete sekundovou ručičku hodin - udělá 1 otáčku za 60 s (T = 60 s), takže f = 1/60 Hz. Gramofon je rychlejší: 33 otáček za 60 s!

Krok 3: Výpočet frekvence

Frekvence = počet otáček za sekundu:

Frekvence:
📐 Frekvence
$$f = \frac{n}{t} = \frac{33\,\text{otáček}}{60\,\text{s}} = 0{,}55\,\text{Hz}$$

Gramofon udělá 0,55 otáčky za sekundu.

Krok 4: Výpočet periody

Perioda = doba jedné otáčky (převrácená hodnota frekvence):

Perioda:
📐 Perioda
$$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0{,}55} = 1{,}82\,\text{s}$$

Kontrola: 60 s ÷ 1,82 s = 33 otáček ✓

Krok 5: Výpočet úhlové rychlosti

Úhlová rychlost = úhel otočený za sekundu:

Úhlová rychlost:
📐 Úhlová rychlost
$$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0{,}55 = 3{,}46\,\text{rad·s}^{-1}$$

Alternativní výpočet: ω = 2π/T = 2π/1,82 = 3,46 rad·s⁻¹ ✓

Krok 6: Výpočet obvodové rychlosti

Obvodová rychlost vyjadřuje, jak rychle se pohybuje bod na okraji desky:

Obvodová rychlost:
📐 Obvodová rychlost
$$v = \omega r = 3{,}46 \times 0{,}12 = 0{,}415\,\text{m·s}^{-1}$$

Převod: v = 0,415 × 3,6 = 1,49 km·h⁻¹ (rychlost pomalé chůze)

Užitečný tip:

1 otáčka = 2π radiánů = 360°. Proto ω = 2πf. Radiány jsou "přirozenější" jednotkou pro rotaci!

Krok 7: Kontrola výsledku a odpověď

Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme kompletní odpověď.

Odpověď:
  • a) Frekvence: 0,55 Hz, Perioda: 1,82 s
  • b) Úhlová rychlost: 3,46 rad·s⁻¹, Obvodová rychlost: 0,415 m·s⁻¹
Kontrola rozumnosti:

33⅓ RPM je hudební standard pro LP vinylové desky! Obvodová rychlost 1,5 km/h odpovídá pomalé chůzi - logické pro gramofon.

Alternativní způsob:

Můžeme počítat přímo: ω = 2πn/60 = 2π×33/60 = 3,46 rad/s, pak v = ωr = 0,415 m/s

🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je důležité rozlišovat mezi úhlovou a obvodovou rychlostí?
  • Jak by se změnily hodnoty pro bod blíže ke středu desky?
  • Proč má CD proměnnou rychlost otáčení, ale gramofon konstantní?
  • Jak souvisí perioda a frekvence v reálných aplikacích?
  • Proč byla zvolena rychlost 33⅓ RPM pro hudební desky?