35. Řešení

Kinematika - řešený příklad

Zadání úlohy

Dvě tělesa se pohybují současně ze stejného bodu. První má počáteční rychlost6 m·s⁻¹a zrychlení0,2 m·s⁻², druhé má počáteční rychlost2 m·s⁻¹a zrychlení3 m·s⁻². Určete:kdy budou mít tělesa stejnou rychlost a jak bude velká;za jak dlouho a v jaké vzdálenosti se potkají;nakreslete grafy závislosti rychlosti a dráhy na čase.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost tělesa 1 v₀₁ 6 m·s⁻¹
Zrychlení tělesa 1 a₁ 0,2 m·s⁻²
Počáteční rychlost tělesa 2 v₀₂ 2 m·s⁻¹
Zrychlení tělesa 2 a₂ 3 m·s⁻²

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Analyzujeme typ pohybu a sjednotíme jednotky pro výpočet.

Analýza:

Identifikujeme typ pohybu a potřebné převody jednotek podle zadání.

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Vybereme vhodnou kinematickou rovnici podle typu pohybu.

Kinematické rovnice:
  • Rovnoměrný pohyb: $s = v \cdot t$
  • Zrychlený pohyb: $s = v_0 \cdot t + \frac12 \cdot a \cdot t^2$
  • Rychlost při zrychleném pohybu: $v = v_0 + a \cdot t$

Krok 3: Sestavení kinematických rovnic

Sestavíme rovnice pro rychlost a dráhu obou těles:

Kinematické rovnice:
📐 Kinematické rovnice
$$\text{Těleso 1:}\quad v_1(t) = 6 + 0{,}2t,\quad s_1(t) = 6t + 0{,}1t^2$$ $$\text{Těleso 2:}\quad v_2(t) = 2 + 3t,\quad s_2(t) = 2t + 1{,}5t^2$$

Těleso 1: rychlý start, malé zrychlení | Těleso 2: pomalý start, velké zrychlení

Krok 4: Výpočet okamžiku stejné rychlosti

Rychlosti se vyrovnají, když $v_1(t)$ = $v_2(t)$:

Podmínka stejné rychlosti:
📐 Podmínka stejné rychlosti
$$6 + 0{,}2t = 2 + 3t$$ $$4 = 2{,}8t$$ $$t = \frac{4}{2{,}8} \approx 1{,}43\,\text{s}$$

Společná rychlost: v = 6 + 0,2(1,43) ≈ 6,29 m·s⁻¹

Krok 5: Výpočet času a místa druhého setkání

Tělesa se znovu setkají, když $s_1(t)$ = $s_2(t)$:

Podmínka druhého setkání:
📐 Podmínka druhého setkání
$$6t + 0{,}1t^2 = 2t + 1{,}5t^2$$ $$4t = 1{,}4t^2$$ $$t(4 - 1{,}4t) = 0$$

Řešení: $t_1 = 0$ (první setkání - start), $t_2 = 4/1,4 \approx$ 2,86 s

Vzdálenost setkání: s = 6(2,86) + 0,1(2,86)² = 17,16 + 0,82 = 18 m

Krok 6: Kontrola výsledku a odpověď

Analýza grafů a fyzikální interpretace:

Odpověď:
  • a) Stejná rychlost: t = 1,43 s, v = 6,29 m·s⁻¹
  • b) Setkání: t = 2,86 s, vzdálenost = 18 m
  • c) Graf v-t: Dvě rostoucí přímky se protínají v [1,43 s; 6,29 m·s⁻¹]
  • Graf s-t: Dvě paraboly se protínají v [0,0] a [2,86 s; 18 m]

Fyzikální interpretace: Zrychlení 3 m·s⁻² nakonec předčí počáteční výhodu 6 m·s⁻¹!