28. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Nouze brždění je kritická situace v dopravě, kdy řidič musí zastavit vozidlo v co nejkratší vzdálenosti. Moderní automobily jsou vybaveny ABS (Anti-lock Braking System), EBD (Electronic Brakeforce Distribution) a asistenčními systémy pro nouze brždění. Tyto systémy využívají fyzikální principy maximální přilnavosti pneumatik k vozovce.

Zadání úlohy

Automobil jedoucí rychlostí 50 km·h⁻¹ musí zastavit na vzdálenosti 12,5 m. Vypočítejte jeho zrychlení a čas potřebný k zastavení.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost v₀ 50 km·h⁻¹
Brzdná dráha s 12,5 m

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Analyzujeme typ pohybu a sjednotíme jednotky pro výpočet.

Logika výběru: Auto musí zastavit na velmi krátké vzdálenosti - jde o nouze brždění s maximálním využitím brzdných sil. Jedná se o rovnoměrně zpomalený pohyb s konečnou rychlostí v = 0.
Pozor na extrem! Brzdná dráha 12,5 m při rychlosti 50 km/h je velmi krátká - očekáváme obrovské zpomalení! Bez ABS by pneumatiky zablokovaly a auto by kouzalo.
Dané hodnoty:
  • v₀ = 50 km·h⁻¹ = 50 ÷ 3,6 = 13,89 m·s⁻¹ (počáteční rychlost)
  • v = 0 m·s⁻¹ (zastavení)
  • s = 12,5 m (brzdná dráha)
  • Hledáme: zrychlení a čas k zastavení

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Vybereme vhodnou kinematickou rovnici podle typu pohybu.

Proč tuto rovnici? Známe počáteční rychlost, konečnou rychlost (nula) a dráhu. Neznáme čas ani zrychlení. Nejlepší je použít kinematickou rovnici bez času: v² = v₀² + 2as.
Kinematické rovnice pro brždění:
  • Zrychlení bez času: $v^2 = v_0^2 + 2as$
  • Čas k zastavení: $t = \frac{v - v_0}{a}$
  • Kontrolní rovnice: $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
Praktická analogie: Představ si že jedeš městem rychlostí 50 km/h a najednou se před tebou objeví dítě. Máš jen 12,5 m na zastavení! Takto krátká vzdálenost vyžaduje maximalne brždění - je to situace, kdy se ABS a moderní bezpečnostní systémy projeví nejvíc.

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

Výpočet:
📐 Konkrétní výpočet nouzového brždění

Převody jednotek:

$$v_0 = 50 \text{ km·h}^{-1} = 50 ÷ 3{,}6 = 13{,}89 \text{ m·s}^{-1}$$ $$v = 0 \text{ m·s}^{-1} \text{ (zastavení)}$$

Brzdné zrychlení (bez znalosti času):

$$v^2 = v_0^2 + 2as \Rightarrow 0^2 = (13{,}89)^2 + 2a \cdot 12{,}5$$ $$a = \frac{-(13{,}89)^2}{2 \cdot 12{,}5} = \frac{-192{,}9}{25} = -7{,}72 \text{ m·s}^{-2}$$

Čas k zastavení:

$$t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 13{,}89}{-7{,}72} = \frac{-13{,}89}{-7{,}72} = 1{,}8 \text{ s}$$

Kontrola dráhy:

$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 13{,}89 \cdot 1{,}8 + \frac{1}{2} \cdot (-7{,}72) \cdot 1{,}8^2 = 25 - 12{,}5 = 12{,}5 \text{ m}$$ ✓

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme odpověď.

Odpověď:

✅ Odpověď: Zrychlení: a = -7,72 m·s⁻² (nouzové brždění), Čas k zastavení: t = 1,8 s