27. Řešení
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Předjíždění na dálnicích vyžaduje přesné výpočty bezpečných vzdáleností a zrychlení. Moderní automobily disponují různými výkony motorů - sportovní vozy dosahují zrychlení 0-100 km/h za 3-6 sekund, běžné osobní automobily za 8-12 sekund. Systémy adaptivního tempomatu využívají podobné výpočty pro optimální zrychlování.
Zadání úlohy
Automobil pohybující se zpočátku rychlostí 80 km·h⁻¹ zvýšil během 10 s svou rychlost na 100 km·h⁻¹. Určete zrychlení a ujetou vzdálenost.
Vstupní data
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Počáteční rychlost | v₀ | 80 | km·h⁻¹ |
| Doba zrychlování | t | 10 | s |
| Konečná rychlost | v | 100 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Analyzujeme typ pohybu a sjednotíme jednotky pro výpočet.
Logika výběru: Automobil postupně zvyšuje rychlost z 80 na 100 km/h v konstantním čase - jde o rovnoměrně zrychlený pohyb. Na rozdíl od rozjezdu z klidu, auto už má počáteční rychlost, co je typické pro předjíždění.
Pozor na počáteční rychlost! Nejde o rozjezd z klidu! Auto již jede rychlostí 80 km/h a pak ještě zrychluje. Zapomenutí v₀ ≠ 0 je častá chyba - výsledek by byl špatně o počáteční rychlost!
Dané hodnoty:
- v₀ = 80 km·h⁻¹ = 80 ÷ 3,6 = 22,22 m·s⁻¹ (počáteční rychlost)
- v = 100 km·h⁻¹ = 100 ÷ 3,6 = 27,78 m·s⁻¹ (konečná rychlost)
- t = 10 s (doba zrychlování)
- Hledáme: zrychlení a ujetou vzdálenost
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
Vybereme vhodnou kinematickou rovnici podle typu pohybu.
Proč tuto rovnici? Máme počáteční rychlost (v₀), konečnou rychlost (v) a čas (t). To je ideální situace pro základní kinematickou rovnici. Pro vzdálenost použijeme vzorec s průměrnou rychlostí.
Kinematické rovnice pro zrychlený pohyb:
- Zrychlení: $a = \frac{v - v_0}{t}$
- Dráha (průměrná rychlost): $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
- Kontrolní rovnice: $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
Praktická analogie: Představ si situaci na dálnici - jedeš 80 km/h a potřebuješ předjet kamion. Šlápneš na plyn a za 10 sekund zrychlité na 100 km/h. Během těchto 10 sekund ujedeš určitou vzdálenost - tu musíš znát pro bezpečné předjíždění!
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.
Tip pro výpočet: Při předjíždění počítej s průměrnou rychlostí! Nezapomeň, že auto nejede konstantní rychlostí, ale postupně zrychluje z 80 na 100 km/h.
Výpočet zrychlení:
📐 Zrychlení při předjíždění
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{27{,}78 - 22{,}22}{10} = \frac{5{,}56}{10} = 0{,}556 \text{ m·s}^{-2}$$
Interpretace: Auto zrychluje o 0,556 m/s každou sekundu - typické pro běžné osobní auto
Výpočet vzdálenosti:
📐 Předjížděcí vzdálenost
$$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{22{,}22 + 27{,}78}{2} \cdot 10 = \frac{50}{2} \cdot 10 = 250 \text{ m}$$
Význam: Průměrná rychlost během předjíždění byla 25 m/s (90 km/h) po dobu 10 s
Kontrolní výpočet:
📐 Ověření pomocí obecné rovnice
$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 22{,}22 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}556 \cdot 100 = 222{,}2 + 27{,}8 = 250 \text{ m}$$ ✓
Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď
Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme odpověď.
Odpověď:
- Zrychlení: a = 0,556 m·s⁻²
- Ujetá vzdálenost: s = 250 m
Kontrola rozumnosti:
- Zrychlení 0,556 m/s² je typické pro běžné osobní auto při předjíždění
- Vzdálenost 250 m za 10 s odpovídá průměrné rychlosti 90 km/h
- Pro bezpečné předjíždění potřebuješ nejméně 500 m volné vzdálenosti!
Alternativní způsob: Můžeme použít i rovnici s = v₀t + ½at². Nejdříve vypočítej zrychlení, pak dosaď: s = 22,22×10 + 0,5×0,556×100 = 222,2 + 27,8 = 250 m ✓
Praktický význam: Při předjíždění z 80 na 100 km/h ujedeš čtvrt kilometru! Proto potřebuješ dostatečnou volnou vzdálenost a musíš počítat s rychlostí protějších vozidel.
🤔 Metakognitivní otázky
- V jakých situacích by řidič potřeboval znát přesnou dráhu rozjezdu při předjíždění?
- Proč mají sportovní vozy větší zrychlení než běžné automobily?
- Jak by se změnila předjížděcí vzdálenost na mokré vozovce?
- Jaký vliv má hmotnost auta na jeho schopnost zrychlovat?