26. Řešení
Kinematika - řešený příklad
💡 Praktická aplikace: Strojvedoucí vlaků musí přesně kontrolovat brzdné vzdálenosti při vjezdu do nádraží, aby vlak zastavil bezpečně u nástupiště. Moderní vlakové systémy používají řídicí počítače, které vypočítávají optimální brzdné křivky na základě hmotnosti vlaku, sklonu trati a vzdálenosti k cíli.
Zadání úlohy
Rychlost vlaku se během 40 s změnila z 36 km·h⁻¹ na 18 km·h⁻¹. Vypočítejte zrychlení a uraženou vzdálenost. Výsledek ověřte pomocí grafu závislosti rychlosti na čase.
Vstupní data
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Doba brždění | t | 40 | s |
| Počáteční rychlost | v₀ | 36 | km·h⁻¹ |
| Konečná rychlost | v | 18 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
Analyzujeme typ pohybu a sjednotíme jednotky pro výpočet.
Logika výběru: Vlak postupně snižuje rychlost v konstantním časovém intervalu - jde o rovnoměrně zpomalený pohyb. Zrychlení bude záporné (zpomalení), protože konečná rychlost je menší než počáteční.
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v km/h, ale čas v sekundách! Musíme převést na jednotný systém SI (m/s) dělením 3,6. Zapomenutí převodu je nejčastější chybou v kinematice.
Dané hodnoty:
- v₀ = 36 km·h⁻¹ = 36 ÷ 3,6 = 10 m·s⁻¹ (počáteční rychlost)
- v = 18 km·h⁻¹ = 18 ÷ 3,6 = 5 m·s⁻¹ (konečná rychlost)
- t = 40 s (doba brždění)
- Hledáme: zrychlení a uraženou vzdálenost
Krok 2: Výběr fyzikální rovnice
Vybereme vhodnou kinematickou rovnici podle typu pohybu.
Proč tuto rovnici? Známe počáteční rychlost, konečnou rychlost a čas. Nejjednoduší je použít základní kinematickou rovnici pro zrychlení. Pro dráhu použijeme vzorec s průměrnou rychlostí, který je přesnější než obecný vzorec.
Kinematické rovnice pro zpomalený pohyb:
- Zrychlení: $a = \frac{v - v_0}{t}$
- Dráha (průměrná rychlost): $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
- Kontrolní rovnice: $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
Praktická analogie: Představ si vlak jako obrovskou hmotu, která se nemůže zastavit okamžitě. Brždění vlaku je jako zpomalování těžkého kamionu - trvá dlouho a vyžaduje velkou vzdálenost. Proto strojvedoucí začíná brzdit několik kilometrů před nádražím!
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.
Tip pro výpočet: Záporné zrychlení neznamená chybu! Je to logické - vlak zpomaluje, takže zrychlení musí být záporné. Vždy si rozmysli fyzikální smysl výsledku.
Výpočet zrychlení:
📐 Konkrétní výpočet zrychlení vlaku
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{5 - 10}{40} = \frac{-5}{40} = -0{,}125 \text{ m·s}^{-2}$$
Interpretace: Záporné zrychlení = zpomalení o 0,125 m/s každou sekundu
Výpočet vzdálenosti:
📐 Brzdná dráha vlaku
$$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{10 + 5}{2} \cdot 40 = \frac{15}{2} \cdot 40 = 7{,}5 \cdot 40 = 300 \text{ m}$$
Význam: Průměrná rychlost během brždění byla 7,5 m/s po dobu 40 s
Kontrolní výpočet:
📐 Ověření pomocí obecné rovnice
$$s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 = 10 \cdot 40 + \frac{1}{2} \cdot (-0{,}125) \cdot 1600 = 400 - 100 = 300 \text{ m}$$ ✓
Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď
Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme odpověď.
Odpověď:
- Zrychlení: a = -0,125 m·s⁻² (zpomalení)
- Uražená vzdálenost: s = 300 m
Kontrola rozumnosti:
- Zpomalení 0,125 m/s² je realistické pro vlak (pohodlné pro cestující)
- Brzdná dráha 300 m při rychlostech 36-18 km/h je typická pro vlaky
- Pro srovnání: auto by zabrzdělo na podobnou vzdálenost při mnohem vyšších rychlostech
Alternativní způsob: Můžeme vypočítat dráhu také pomocí grafu v-t. Plocha pod přímkou (lichobežník) s základnami 10 a 5 m/s a výškou 40 s dá: S = (10+5)/2 × 40 = 300 m ✓
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je zpomalení vlaku tak malé ve srovnání s auty?
- Jak by se změnila brzdná dráha, kdybychom chtěli zastavit za poloviční čas?
- V jakých situacích strojvedoucí musí brzdit rychleji než v tomto příkladu?
- Jak ovlivňuje hmotnost vlaku a sklon trati potřebnou brzdnou sílu?