25. Řešení
Kinematika - řešený příklad
Zadání úlohy
Počáteční rychlost přímočarého pohybu hmotného bodu je 10 m·s⁻¹. Předpokládejte, že jeho zrychlení je 3 m·s⁻².
Úkoly:
- Vypočítejte rychlost tohoto hmotného bodu po 5 s od začátku měření
- Načrtněte graf závislosti rychlosti na čase
- Určete vzdálenost, kterou během tohoto časového intervalu hmotný bod urazil
Vstupní data
Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
---|---|---|---|
Počáteční rychlost | v₀ | 10 | m·s⁻¹ |
Zrychlení | a | 3 | m·s⁻² |
Čas | t | 5 | s |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a klíčové rozdíly
- Počáteční rychlost: v₀ = 10 m·s⁻¹ (NEz klidu!)
- Zrychlení: a = 3 m·s⁻²
- Čas: t = 5 s
- Hledáme: konečnou rychlost v a dráhu s
Krok 2: Výběr rovnic s počáteční rychlostí
- Rychlost: $v = v_0 + a \cdot t$
- Dráha: $s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$
- Alternativní dráha: $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
- Bez času: $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.
$$v = v_0 + a \cdot t = 10 + 3 \cdot 5 = 10 + 15 = 25 \text{ m·s}^{-1}$$
Interpretace: Původních 10 m/s + přidaných 15 m/s ze zrychlení
$$v_{prům} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{10 + 25}{2} = 17{,}5 \text{ m·s}^{-1}$$
$$s = v_{prům} \cdot t = 17{,}5 \cdot 5 = 87{,}5 \text{ m}$$
$$s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 10 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 25$$
$$s = 50 + 37{,}5 = 87{,}5 \text{ m}$$
Rozklad: 50 m z původního pohybu + 37,5 m ze zrychlení
📊 Graf v(t)
Graf rychlosti: Lineární rostoucí funkce
- Začátek: [0 s, 10 m/s] (NEprochází počátkem!)
- Konec: [5 s, 25 m/s]
- Sklon: a = 3 m·s⁻²
- Plocha pod grafem = dráha = 87,5 m
Krok 4: Kontrola a srovnání s "z klidu"
Kdyby těleso začínalo z klidu se stejným zrychlením:
- Rychlost: v = 0 + 3×5 = 15 m/s (o 10 m/s méně!)
- Dráha: s = ½×3×25 = 37,5 m (o 50 m méně!)
Počáteční rychlost významně ovlivňuje výsledky!
- Rychlost po 5 s: v = 25 m·s⁻¹
- Uražená dráha: s = 87,5 m
- Graf v(t): Lineární rostoucí od [0,10] do [5,25]
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je výsledek jiný než u pohybu z klidu?
- Jak by se graf v(t) lišil, kdyby počáteční rychlost byla záporná?
- V jakých praktických situacích máme kombinaci počáteční rychlosti a zrychlení?
- Jak byste využili tento typ výpočtu při řízení letadla nebo kosmické sondy?