25. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Letící letadlo, rozjíždějící se vlak, nebo kosmická sonda při korekci dráhy - všude tam máme kombinaci počáteční rychlosti a zrychlení. Piloti při vzletu, řidiči při předjíždění, nebo technologické říšení pohybových platform musí spočítat výslednou dráhu a rychlost.

Zadání úlohy

Počáteční rychlost přímočarého pohybu hmotného bodu je 10 m·s⁻¹. Předpokládejte, že jeho zrychlení je 3 m·s⁻².

Úkoly:

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční rychlost v₀ 10 m·s⁻¹
Zrychlení a 3 m·s⁻²
Čas t 5 s

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a klíčové rozdíly

Logika výběru: Toto JENÍ příklad zrychleného pohybu s NENUOVOU počáteční rychlostí! v₀ ≠ 0 znamená, že těleso už se pohybuje a pak ještě přidáme zrychlení. To ztěžuje výpočty!
Pozor na počáteční rychlost! Nejde o rozjezd z klidu! Těleso už jede rychlostí 10 m/s a pak ještě zrychluje. Zapomenutí v₀ je častá chyba - výsledek by byl špatně o 10 m/s!
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: v₀ = 10 m·s⁻¹ (NEz klidu!)
  • Zrychlení: a = 3 m·s⁻²
  • Čas: t = 5 s
  • Hledáme: konečnou rychlost v a dráhu s
Praktická analogie: Jedete po dálnici 90 km/h (počáteční rychlost) a pak začnete přidavát plyn pro předjetí (zrychlení). Výsledná rychlost bude větší než jen od samotého zrychlení!

Krok 2: Výběr rovnic s počáteční rychlostí

Proč tyto kompletní rovnice? Musíme použít kompletní tvary kinematických rovnic s v₀! Zjednodušené verze pro "z klidu" by daly špatné výsledky.
Kompletní kinematické rovnice:
  • Rychlost: $v = v_0 + a \cdot t$
  • Dráha: $s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$
  • Alternativní dráha: $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
  • Bez času: $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$
Pozor na zjednodušení! Rovnice typu s = ½at² nebo v = at platí JEN pro rozjezd z klidu (v₀ = 0). Zde musíme použít kompletní tvary!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Výpočet konečné rychlosti

$$v = v_0 + a \cdot t = 10 + 3 \cdot 5 = 10 + 15 = 25 \text{ m·s}^{-1}$$

Interpretace: Původních 10 m/s + přidaných 15 m/s ze zrychlení

💡 Rozklad rychlosti: Z celkových 25 m/s pochází 10 m/s z původního pohybu a 15 m/s ze zrychlení během 5 sekund. Každá část je důležitá!
📐 Dráha - metoda 1 (průměrná rychlost)

$$v_{prům} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{10 + 25}{2} = 17{,}5 \text{ m·s}^{-1}$$

$$s = v_{prům} \cdot t = 17{,}5 \cdot 5 = 87{,}5 \text{ m}$$

📐 Dráha - metoda 2 (kinematická rovnice)

$$s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 10 \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 25$$

$$s = 50 + 37{,}5 = 87{,}5 \text{ m}$$

Rozklad: 50 m z původního pohybu + 37,5 m ze zrychlení

📊 Graf v(t)

Graf rychlosti: Lineární rostoucí funkce

  • Začátek: [0 s, 10 m/s] (NEprochází počátkem!)
  • Konec: [5 s, 25 m/s]
  • Sklon: a = 3 m·s⁻²
  • Plocha pod grafem = dráha = 87,5 m

Krok 4: Kontrola a srovnání s "z klidu"

Kontrola rozumnosti: Rychlost 25 m/s (90 km/h) po 5 s je rozumná. Dráha 87,5 m odpovídá průměrné rychlosti 17,5 m/s, což je správně mezi počáteční (10 m/s) a konečnou (25 m/s).
Srovnání s pohybem "z klidu":

Kdyby těleso začínalo z klidu se stejným zrychlením:

  • Rychlost: v = 0 + 3×5 = 15 m/s (o 10 m/s méně!)
  • Dráha: s = ½×3×25 = 37,5 m (o 50 m méně!)

Počáteční rychlost významně ovlivňuje výsledky!

Fyzikální význam: Počáteční pohyb přispívá konstantním podílem (10 m/s × t), zatímco zrychlení přidává rostoucí podíl (½at²). Superpozice pohybů!
Odpověď:
  • Rychlost po 5 s: v = 25 m·s⁻¹
  • Uražená dráha: s = 87,5 m
  • Graf v(t): Lineární rostoucí od [0,10] do [5,25]
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je výsledek jiný než u pohybu z klidu?
  • Jak by se graf v(t) lišil, kdyby počáteční rychlost byla záporná?
  • V jakých praktických situacích máme kombinaci počáteční rychlosti a zrychlení?
  • Jak byste využili tento typ výpočtu při řízení letadla nebo kosmické sondy?