24. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Výpočet rychlosti bez známého času je klíčový v balistice (rychlost střely na cíli), při konstrukci bezpečnostních zón (rychlost vozidla před nárazem), nebo v kosmonautice (rychlost sondy při doskokovém manévru). Když neznáme čas, pomohá nám energetický přístup!

Zadání úlohy

Těleso se pohybuje z klidu se zrychlením 8 m·s⁻². Vypočítejte jeho rychlost ve vzdálenosti 100 m od počátku pohybu.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Zrychlení a 8 m·s⁻²
Dráha s 100 m

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a identifikace problému

Logika výběru: "Z klidu" → v₀ = 0, známe zrychlení a a dráhu s, hledáme rychlost v. Čas NEznáme! Proto použijeme kinematickou rovnici BEZ času: v² = v₀² + 2as.
Pozor na výběr rovnice! Když neznáme čas, nemůžeme použít rovnice s t. Musíme najít rovnici, která obsahuje jen známé veličiny: v₀, a, s a hledanou v.
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: v₀ = 0 m·s⁻¹ (z klidu)
  • Zrychlení: a = 8 m·s⁻²
  • Dráha: s = 100 m
  • Hledáme: konečnou rychlost v
  • Neznáme: čas t (škrtlý parametr)

Krok 2: Výběr správné kinematické rovnice

Proč právě tuto rovnici? Potřebujeme rovnici, která neobsahuje čas t. Ze 4 základních kinematických rovnic je jediná, která to splněuje: v² = v₀² + 2as. Je to energetický přístup k pohybu!
Dostupné kinematické rovnice:
  • $v = v_0 + a \cdot t$ ❌ (obsahuje neznámý čas t)
  • $s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ ❌ (obsahuje neznámý čas t)
  • $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$ ❌ (obsahuje neznámý čas t)
  • $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s$ ✅ (bez času!)
Praktická analogie: Je to jako pád z výšky - čím větší výška (dráha), tím větší konečná rychlost. A je jedno, jestli padáte 2 sekundy nebo 10 sekund - záleží jen na tom, JAK DALEKO jste padali!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Aplikace kinematické rovnice bez času

Základní tvar: $$v^2 = v_0^2 + 2as$$

Pro pohyb z klidu (v₀ = 0): $$v^2 = 2as$$

💡 Fyzikální význam: Rovnice v² = 2as představuje vztah mezi kinetickou energií (½mv²) a praci silou (F·s = ma·s). Výsledná rychlost závisí jen na "množství" energie, ne na čase!
📐 Výpočet konečné rychlosti

$$v^2 = 2 \cdot a \cdot s = 2 \cdot 8 \cdot 100 = 1600 \text{ m}^2\text{·s}^{-2}$$

$$v = \sqrt{1600} = 40 \text{ m·s}^{-1}$$

📐 Převod na km/h (pro srovnání)

$$v = 40 \text{ m·s}^{-1} \times 3{,}6 = 144 \text{ km·h}^{-1}$$

Pro srovnání: to je rychlost na dálnici!

📈 Grafická interpretace

Pokud bychom nakreslili graf v²(s), získali bychom přímku se sklonem 2a = 16.

Rychlost roste jako √s - nejrychleji na začátku, pak pomaleji.

Krok 4: Kontrola a alternativní přístupy

Kontrola rozumnosti: Rychlost 40 m/s (144 km/h) po 100 metrech při zrychlení 8 m·s⁻² je rozumná. Pro srovnání: volný pád má zrychlení 9,81 m·s⁻², takže naše zrychlení je jen trochu menší.
Alternativní kontrola přes čas:

Pokud bychom chtěli najít čas: $v = v_0 + at \Rightarrow t = \frac{v}{a} = \frac{40}{8} = 5$ s

Kontrola dráhy: $s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 25 = 100$ m ✓

Energetická interpretace: Těleso získalo kinetickou energii ½mv². Tato energie se rovná práci vykonané silou: W = F·s = ma·s. Proto v² ∝ a·s!
Odpověď:
  • Konečná rychlost: v = 40 m·s⁻¹
  • V km/h: v = 144 km·h⁻¹
  • Použitá rovnice: v² = v₀² + 2as
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč můžeme vypočítat rychlost bez známého času?
  • V jakých praktických situacích neznáme čas, ale známe dráhu?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby se těleso pohybovalo po nakloněné rovině?
  • Jak souvisí tato úloha se zákonem zachování energie?