23. Řešení

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Automobilové testy zrychlení (0-100 km/h) jsou klíčové pro bezpečnost a výkon. Řidiči potřebují vědět, jak rychle mohou zrychlit při předjíždění na silnici. Konstruktéři automobilů optimalizují motory pro ideální poměr výkonu a spotřeby během rozjezdu.

Zadání úlohy

Automobil se rozjíždí z klidu a za 20 sekund dosáhne rychlosti 90 km·h⁻¹. Za předpokladu, že se pohybuje rovnoměrně zrychleně, vypočítejte:

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Doba zrychlování t 20 sekund
Konečná rychlost v 90 km·h⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Logika výběru: "Z klidu" → v₀ = 0, "rovnoměrně zrychleně" → a = konstanta. Máme smíšené jednotky (km/h a s), musíme převést na jednotné SI jednotky pro správný výpočet.
Pozor na jednotky! Rychlost je v km/h, čas v sekundách → musíme převést na m/s, jinak dostaneme špatný výsledek! Pravidlo: vždy používejte SI jednotky (m, s, m/s).
Dané hodnoty:
  • Počáteční rychlost: v₀ = 0 m·s⁻¹ (z klidu)
  • Konečná rychlost: v = 90 km·h⁻¹ = ? m·s⁻¹
  • Čas: t = 20 s
  • Hledáme: zrychlení a, dráhu s
📐 Převod jednotek rychlosti

$$v = 90 \text{ km·h}^{-1} \div 3{,}6 = 25 \text{ m·s}^{-1}$$

Kontrola: 90 km za 1 hodinu = 90 000 m za 3600 s = 25 m/s ✓

Krok 2: Výběr kinematických rovnic

Proč tyto rovnice? Pro zrychlení: známe v₀, v, t → použijeme v = v₀ + a·t. Pro dráhu: známe v₀, a, t → použijeme s = v₀·t + ½·a·t² nebo s = ½·(v₀ + v)·t.
Kinematické rovnice pro tento problém:
  • Zrychlení: $a = \frac{v - v_0}{t}$
  • Dráha (metoda 1): $s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$
  • Dráha (metoda 2): $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
Praktická analogie: Představte si test automobilu na zkušební dráze. Řidič stiskne plyn na maximum (konstantní síla = konstantní zrychlení) a měří, za jak dlouho dosáhne 90 km/h. Takový test dělají všichni výrobci aut!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Výpočet zrychlení

$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{25 - 0}{20} = \frac{25}{20} = 1{,}25 \text{ m·s}^{-2}$$

💡 Interpretace zrychlení: 1,25 m·s⁻² znamená, že rychlost se každou sekundu zvýší o 1,25 m/s. To je mírné zrychlení - auto by dosáhlo 100 km/h za 22,2 sekundy.
📐 Dráha - metoda 1 (z kinematické rovnice)

$$s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 0 \cdot 20 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 20^2$$

$$s = \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 400 = 250 \text{ m}$$

📐 Dráha - metoda 2 (průměrná rychlost)

$$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{0 + 25}{2} \cdot 20 = 12{,}5 \cdot 20 = 250 \text{ m}$$

Kontrola: Obě metody dávají stejný výsledek ✓

📊 Graf v(t)

Graf rychlosti v čase: Lineární rostoucí funkce

  • Začátek: [0 s, 0 m/s]
  • Konec: [20 s, 25 m/s]
  • Sklon přímky = zrychlení = 1,25 m·s⁻²
  • Plocha pod grafem = dráha = 250 m

Krok 4: Kontrola a interpretace výsledků

Kontrola rozumnosti: Zrychlení 1,25 m·s⁻² je typické pro běžný osobní automobil. Dráha 250 m odpovídá průměrné rychlosti 12,5 m/s (45 km/h) za 20 s, což dává smysl pro rozjezd z 0 na 90 km/h.
Alternativní kontrola pomocí energie:

Při konstantním zrychlení je průměrná rychlost $v_{prům} = \frac{v_0 + v}{2} = 12{,}5$ m/s

Ověření: $s = v_{prům} \cdot t = 12{,}5 \cdot 20 = 250$ m ✓

Praktický význam: Automobil během rozjezdu na 90 km/h urazí čtvrt kilometru. To je důležité vědět při předjíždění - potřebujete dostatečnou volnou vzdálenost!
Odpověď:
  • Zrychlení: a = 1,25 m·s⁻²
  • Dráha: s = 250 m
  • Graf v(t): Lineární funkce od [0,0] do [20s, 25m/s]
🤔 Metakognitivní otázky
  • Proč je důležité převádět jednotky před výpočtem?
  • Jak by se změnilo zrychlení, kdyby auto dosáhlo stejné rychlosti za 10 sekund?
  • V jakých situacích by řidič potřeboval znát přesnou dráhu rozjezdu?
  • Jak byste porovnali výkon různých automobilů na základě zrychlení?