23. Řešení
Kinematika - řešený příklad
Zadání úlohy
Automobil se rozjíždí z klidu a za 20 sekund dosáhne rychlosti 90 km·h⁻¹. Za předpokladu, že se pohybuje rovnoměrně zrychleně, vypočítejte:
- Zrychlení automobilu
- Dráhu, kterou urazí během této doby
- Nakreslete graf závislosti rychlosti na čase
Vstupní data
Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
---|---|---|---|
Doba zrychlování | t | 20 | sekund |
Konečná rychlost | v | 90 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace a převody jednotek
- Počáteční rychlost: v₀ = 0 m·s⁻¹ (z klidu)
- Konečná rychlost: v = 90 km·h⁻¹ = ? m·s⁻¹
- Čas: t = 20 s
- Hledáme: zrychlení a, dráhu s
$$v = 90 \text{ km·h}^{-1} \div 3{,}6 = 25 \text{ m·s}^{-1}$$
Kontrola: 90 km za 1 hodinu = 90 000 m za 3600 s = 25 m/s ✓
Krok 2: Výběr kinematických rovnic
- Zrychlení: $a = \frac{v - v_0}{t}$
- Dráha (metoda 1): $s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$
- Dráha (metoda 2): $s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.
$$a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{25 - 0}{20} = \frac{25}{20} = 1{,}25 \text{ m·s}^{-2}$$
$$s = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 0 \cdot 20 + \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 20^2$$
$$s = \frac{1}{2} \cdot 1{,}25 \cdot 400 = 250 \text{ m}$$
$$s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t = \frac{0 + 25}{2} \cdot 20 = 12{,}5 \cdot 20 = 250 \text{ m}$$
Kontrola: Obě metody dávají stejný výsledek ✓
📊 Graf v(t)
Graf rychlosti v čase: Lineární rostoucí funkce
- Začátek: [0 s, 0 m/s]
- Konec: [20 s, 25 m/s]
- Sklon přímky = zrychlení = 1,25 m·s⁻²
- Plocha pod grafem = dráha = 250 m
Krok 4: Kontrola a interpretace výsledků
Při konstantním zrychlení je průměrná rychlost $v_{prům} = \frac{v_0 + v}{2} = 12{,}5$ m/s
Ověření: $s = v_{prům} \cdot t = 12{,}5 \cdot 20 = 250$ m ✓
- Zrychlení: a = 1,25 m·s⁻²
- Dráha: s = 250 m
- Graf v(t): Lineární funkce od [0,0] do [20s, 25m/s]
🤔 Metakognitivní otázky
- Proč je důležité převádět jednotky před výpočtem?
- Jak by se změnilo zrychlení, kdyby auto dosáhlo stejné rychlosti za 10 sekund?
- V jakých situacích by řidič potřeboval znát přesnou dráhu rozjezdu?
- Jak byste porovnali výkon různých automobilů na základě zrychlení?