15. Porovnání dvou aut - které dojede dříve do cíle?
Kinematika - řešený příklad
Zadání úlohy
Automobil ujel první polovinu vzdálenosti rychlostí 30 km·h⁻¹ a druhou rychlostí 50 km·h⁻¹. Druhý automobil, který se začal pohybovat ve stejném okamžiku, se pohyboval po stejné trajektorii stálou rychlostí 40 km·h⁻¹. Který z automobilů dorazil do cíle dříve?
Vstupní data
| Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
|---|---|---|---|
| Rychlost první poloviny | v₁ | 30 | km·h⁻¹ |
| Rychlost druhé poloviny | v₂ | 50 | km·h⁻¹ |
| Konstantní rychlost auta 2 | v₃ | 40 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Strategie řešení - porovnání průměrných rychlostí
Abychom určili vítěze, musíme porovnat průměrné rychlosti obou automobilů:
- Automobil 1: Kombinuje rychlosti 30 a 50 km·h⁻¹
- Automobil 2: Konstantní rychlost 40 km·h⁻¹
Krok 2: Analýza automobilu 2 (jednoduší případ)
Automobil 2 jede konstantní rychlostí:
$$v_{\text{průměr},2} = 40 \text{ km·h}^{-1}$$
Jednoduchý případ - konstantní rychlost!
Krok 3: Výpočet průměrné rychlosti automobilu 1
Označme celkovou vzdálenost jako 's'. Časy pro jednotlivé úseky:
$$t_1 = \frac{s/2}{30} = \frac{s}{60} \text{ h}$$
$$t_2 = \frac{s/2}{50} = \frac{s}{100} \text{ h}$$
$$t_{\text{celk}} = \frac{s}{60} + \frac{s}{100} = \frac{5s + 3s}{300} = \frac{8s}{300} = \frac{2s}{75}$$
📐 Průměrná rychlost auta 1$$v_{\text{průměr},1} = \frac{s_{\text{celk}}}{t_{\text{celk}}} = \frac{s}{\frac{2s}{75}} = \frac{s \cdot 75}{2s} = \frac{75}{2} = 37{,}5 \text{ km·h}^{-1}$$
Krok 4: Porovnání a odpověď
Porovnání průměrných rychlostí:
- Automobil 1: 37,5 km·h⁻¹
- Automobil 2: 40,0 km·h⁻¹
Odpověď: Do cíle dorazí dříve druhý automobil (konstantní rychlost).