14. Chodec s různými rychlostmi v jednotlivých úsecích

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: V reálném životě se rychlost často mění - sportovci zrychlují a zpomalují, auta jedou různě rychle na různých úsecích. Chytřé hodinky a fitness trackery také počítají průměrné rychlosti z jednotlivých úseků tréninku.

Zadání úlohy

Chodec pohybující se stálou rychlostí ušel za prvních 6 sekund vzdálenost 9 m, v dalších 4 sekundách vzdálenost 8 m. Jaká byla jeho rychlost v prvních 6 s a dalších 4 s? Jaká byla jeho průměrná rychlost v prvních 10 sekundách (v km·h⁻¹ a m·s⁻¹)? Narysujte grafy závislostí v-t a s-t při jeho pohybu.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Doba první části t₁ 6 sekund
Dráha první části s₁ 9 m
Doba druhé části t₂ 4 sekundy
Dráha druhé části s₂ 8 m

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Chodec se pohyboval rovnoměrně v každém úseku, ale s různou rychlostí. Nejprve spočítáme rychlosti v jednotlivých úsecích, pak celkovou průměrnou rychlost.
Pozor na jednotky! Všechny vzdálenosti v metrech, časy v sekundách. Výsledek bude v m/s, pak převedeme na km/h násobením 3,6.
Dané hodnoty:
  • 1. úsek: s₁ = 9 m za t₁ = 6 s
  • 2. úsek: s₂ = 8 m za t₂ = 4 s
  • Hledáme: v₁, v₂ a průměrnou rychlost v_p
  • Celkem: 17 m za 10 s

Krok 2: Výběr rovnice

Proč tyto rovnice? V každém úseku byl pohyb rovnoměrný, takže rychlost = dráha/čas. Pro celkovou průměrnou rychlost použijeme celkovou dráhu a celkový čas.
$$v = \frac{s}{t} \text{ (pro každý úsek)}$$ $$v_{prům} = \frac{s_{celk}}{t_{celk}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$$
Praktická analogie: Jako běh na 400 m, kde atlet zrychlí ze startu (prvi úsek), pak si udrží konstantní tempo (druhý úsek). Celkový čas určí průměrnou rychlost, ale v každém úseku byla rychlost jiná!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Rychlosti jednotlivých úseků

$$v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{9\,\text{m}}{6\,\text{s}} = 1{,}5\,\text{m·s}^{-1} = 5{,}4\,\text{km·h}^{-1}$$

$$v_2 = \frac{s_2}{t_2} = \frac{8\,\text{m}}{4\,\text{s}} = 2{,}0\,\text{m·s}^{-1} = 7{,}2\,\text{km·h}^{-1}$$

Tip: Chodec zrychlil - v druhém úseku byl rychlejší (2,0 vs 1,5 m/s). To odpovídá rychlosti rychlé chůze až lehkého klusu.
📐 Průměrná rychlost za celých 10 sekund

$$s_{celk} = s_1 + s_2 = 9 + 8 = 17\,\text{m}$$

$$t_{celk} = t_1 + t_2 = 6 + 4 = 10\,\text{s}$$

$$v_{prům} = \frac{s_{celk}}{t_{celk}} = \frac{17\,\text{m}}{10\,\text{s}} = 1{,}7\,\text{m·s}^{-1}$$

$$v_{prům} = 1{,}7 \times 3{,}6 = 6{,}12\,\text{km·h}^{-1}$$

🔍 Pokročilé informace

Proč není průměrná rychlost (1,5+2,0)/2 = 1,75 m/s?

Aritmetický průměr by platil, pokud by oba úseky trvaly stejně dlouho. Ale první úsek trval déle (6 vs 4 s), takže nižší rychlost "váží" více.

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď:
  • Rychlost v 1. úseku: 1,5 m·s⁻¹ = 5,4 km·h⁻¹
  • Rychlost v 2. úseku: 2,0 m·s⁻¹ = 7,2 km·h⁻¹
  • Průměrná rychlost: 1,7 m·s⁻¹ = 6,12 km·h⁻¹
Kontrola rozumnosti: Průměrná rychlost 1,7 m/s je mezi 1,5 a 2,0 m/s, ale blíže k 1,5 m/s, protože pomalejší rychlostí šel déle (6 vs 4 s). Vše dává smysl!
Alternativní způsob: Vážený průměr podle času: v_p = (v₁×t₁ + v₂×t₂)/(t₁+t₂) = (1,5×6 + 2,0×4)/10 = 17/10 = 1,7 m/s
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnila průměrná rychlost, kdyby oba úseky trvaly 5 sekund?
  • Proč chodec zrychlil ve druhém úseku?
  • Jak by vypadaly grafy v-t a s-t pro tento pohyb?
  • V jakých sportech se rychlost během závodu mění?