13. Dohánění dvou těles - rychlejší dohoní pomalejší

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Dohánění je běžné v dopravě - rychlejší auto dohoní pomalejší na dálnici, nebo v atletice, kdy rychlejší běžec dobhá soupeře. Takové výpočty používají i systémy pro řízení letecké nebo námořní dopravy.

Zadání úlohy

Dvě tělesa se současně začala pohybovat ze dvou bodů M a N ležících na ose x stejným směrem podél této osy. Počáteční body jsou vzdáleny 100 m od sebe, těleso pohybující se z bodu M má rychlost 5 m·s⁻¹, druhé pohybující se z bodu N má rychlost 3 m·s⁻¹. Kdy první těleso dostihne druhé? Jaké vzdálenosti do té doby obě tělesa urazí? Narysujte pro obě tělesa grafy závislostí v-t a s-t.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Počáteční vzdálenost s₀ 100 m
Rychlost tělesa M v₁ 5 m·s⁻¹
Rychlost tělesa N v₂ 3 m·s⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Těleso 1 (rychlejší) začíná z pozice 0, těleso 2 (pomalejší) má 100m náskok. Rychlejší bude postupně zmenšovat náskok, až pomalejší dohoní.
Pozor na nastavení soustavy! Těleso 1 začíná z pozice x=0, těleso 2 z pozice x=100m. Rychlosti jsou již v m/s, převody nejsou potřeba.
Dané hodnoty:
  • Těleso 1: počáteční pozice x₁₀ = 0 m, rychlost v₁ = 5 m·s⁻¹
  • Těleso 2: počáteční pozice x₂₀ = 100 m, rychlost v₂ = 3 m·s⁻¹
  • Hledáme: čas dohánění a urazené vzdálenosti
  • Klíčová podmínka: x₁(t) = x₂(t)

Krok 2: Výběr rovnice

Proč tyto rovnice? Oba tělesa se pohybují rovnoměrně, takže jejich pozice v čase je lineární funkce. Setkojí se, když budou na stejné pozici.
$$x_1(t) = x_{10} + v_1 \cdot t = 0 + 5t = 5t$$ $$x_2(t) = x_{20} + v_2 \cdot t = 100 + 3t$$
Podmínka dohánění: $x_1(t) = x_2(t)$
Praktická analogie: Jako ve filmu, kdy policejní auto dohání uprchnuté auto. Uprchnuté má náskok, ale policie jede rychleji. Po určitém čase policie náskok dotáhne a dohoní!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Poloha těles v čase t

$$\text{Těleso 1: } x_1(t) = 5t \text{ m}$$

$$\text{Těleso 2: } x_2(t) = 100 + 3t \text{ m}$$

📐 Podmínka setkání

$$5t = 100 + 3t$$

$$5t - 3t = 100$$

$$2t = 100$$

$$t = 50 \text{ s}$$

Tip: Rozdíl rychlostí (5-3 = 2 m/s) určuje, jak rychle se zkracuje vzdálenost mezi tělesy. Náskok 100 m se zmenšuje o 2 m každou sekundu!
📐 Vzdálenosti uražené do setkání

$$\text{Těleso 1: } s_1 = 5 \cdot 50 = 250 \text{ m}$$

$$\text{Těleso 2: } s_2 = 3 \cdot 50 = 150 \text{ m}$$

Pozice setkání: x = 250 m od počátku

🔍 Pokročilé informace

Intuitivní řešení: Těleso 1 "dobíhá" náskok rychlostí 2 m/s (rozdíl rychlostí). Náskok 100 m / rychlost dobíhání 2 m/s = 50 sekund.

Ověření: Po 50 s je těleso 1 na pozici 250 m, těleso 2 na pozici 100+150=250 m. ✓

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď: První těleso dostihne druhé za 50 sekund.
Těleso 1 urazí 250 m, těleso 2 urazí 150 m.
Setkojí se v pozici 250 m od počátku.
Kontrola rozumnosti: Těleso 1 ujde více (250 vs 150 m), což dává smysl - jelo rychleji a déle. Počáteční náskok 100 m + urazená vzdálenost 150 m = 250 m (pozice setkání). ✓
Alternativní způsob: Čas = náskok / rozdíl rychlostí = 100 m / (5-3) m/s = 100/2 = 50 s
🤔 Metakognitivní otázky
  • Co by se stalo, kdyby obě tělesa měla stejnou rychlost?
  • Jak by se změnil čas dohánění, kdyby těleso 1 jelo 6 m/s?
  • Jak by vypadaly grafy v-t a s-t pro obě tělesa?
  • V jakých praktických situacích řešíme dohánění?