12. Srážka na křižovatce - policejní auto vs. automobil M

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Rekonstrukce nehod je důležitou částí práce policejních expertů. Z rychlostí a vzdáleností se da určit, kdo měl přednost, nebo zda někdo prekročil rychlost. Podobně pracují i systémy předcházení kol izí v moderních autech.

Zadání úlohy

Policejní automobil P je ve vzdálenosti 800 m od křižovatky a blíží se k ní konstantní rychlostí 80 km·h⁻¹. Automobil M přijíždějící po vedlejší silnici je ve stejném okamžiku ve vzdálenosti 600 m od křižovatky. Jakou rychlostí (v km·h⁻¹ i m·s⁻¹) se pohybuje automobil M, jestliže se obě auta na křižovatce srazí? Narysujte grafy závislostí v-t a s-t pro oba automobily.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Úsek 1 s₁ 800 m
Rychlost automobilu v 80 km·h⁻¹
Úsek 2 s₂ 600 m

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Oba automobily se setkojí na křižovatce ve stejný čas. Policejní auto ujede 800 m, automobil M ujede 600 m - a to ve stejném čase!
Pozor na jednotky! Rychlost policie v km/h, vzdálenosti v metrech. Bude potřeba převod km ↔ m nebo h ↔ s.
Dané hodnoty:
  • Vzdálenost policie od křižovatky: s_P = 800 m
  • Rychlost policie: v_P = 80 km·h⁻¹
  • Vzdálenost auta M od křižovatky: s_M = 600 m
  • Hledáme: rychlost auta M (v_M)
  • Klíčová podmínka: t_P = t_M (setkojí se ve stejný čas)

Krok 2: Výběr rovnice

Proč tento postup? Obě auta jedou rovnoměrně k témuž bodu (křižovatka) a setkojí se tam ve stejný čas. Čas = dráha/rychlost.
$$t = \frac{s}{v}$$
Klíčová podmínka: $t_P = t_M$
Proto: $\frac{s_P}{v_P} = \frac{s_M}{v_M}$
Praktická analogie: Jako dva běžci star tující z různých vzdáleností k cíli. Aby dorazili současně, musí ten vzdálenější běžet rychleji! V našem případě je policejní auto "vzdálenější", takže bude rychlejší.

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Čas jízdy policie

$$s_P = 800 \text{ m} = 0{,}8 \text{ km}$$

$$v_P = 80 \text{ km·h}^{-1}$$

$$t_P = \frac{s_P}{v_P} = \frac{0{,}8 \text{ km}}{80 \text{ km·h}^{-1}} = 0{,}01 \text{ h} = 36 \text{ s}$$

Tip: Policie ujede 800 m za 36 sekund. Za tutoch dobu musí auto M stihnout ujet 600 m, aby se srazili na křižovatce!
📐 Rychlost automobilu M

$$t_M = t_P = 0{,}01 \text{ h}$$

$$s_M = 600 \text{ m} = 0{,}6 \text{ km}$$

$$v_M = \frac{s_M}{t_M} = \frac{0{,}6 \text{ km}}{0{,}01 \text{ h}} = 60 \text{ km·h}^{-1}$$

$$v_M = \frac{60}{3{,}6} = 16{,}67 \text{ m·s}^{-1}$$

🔍 Pokročilé informace

Alternativní řešení přímo z podmínky:

$$\frac{s_P}{v_P} = \frac{s_M}{v_M} \Rightarrow v_M = v_P \cdot \frac{s_M}{s_P} = 80 \cdot \frac{600}{800} = 80 \cdot 0{,}75 = 60 \text{ km·h}^{-1}$$

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď: Automobil M se pohybuje rychlostí 60 km·h⁻¹ = 16,67 m·s⁻¹.
Obě auta se srazí na křižovatce za 36 sekund.
Kontrola rozumnosti: Auto M jede 60 km/h, policie 80 km/h. To dává smysl - policie je vzdáleněji (800 vs 600 m), takže musí jet rychleji, aby dorazili současně.
Alternativní způsob: Poměr rychlostí = poměr vzdáleností: v_M/v_P = s_M/s_P ⇒ v_M = 80 × (600/800) = 60 km/h
🤔 Metakognitivní otázky
  • Co by se stalo, kdyby auto M jelo rychleji než 60 km/h?
  • Jak by vypadaly grafy v-t a s-t pro obě auta?
  • V jaké vzdálenosti by se auta minula, kdyby auto M jelo 50 km/h?
  • Proč je tato úloha typická pro rekonstrukci nehod?