11. Analýza grafů s-t a určení setkání dvou aut

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Analýza grafů pohybu je základem pro dopravce, letecké dispetčery nebo GPS systémy. Umění číst grafy rychlosti a dráhy pomáhá předvídat kolize, plat formy a optimalizovat trasy.

Zadání úlohy

Na obr. I. a II. jsou nakresleny grafy závislosti dráhy na čase automobilu 1 a 2. Pro oba případy určete:
1) jak velkou rychlostí se pohybuje auto 1 a auto 2
2) jaký fyzikální význam mají body A, B, C a D?
3) jak daleko a kdy se auta setkojí?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Graf závislosti dráhy na čase s(t) dle grafů I. a II. -
Body grafu A, B, C, D dle grafů -

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza grafů

Logika výběru: V grafech s-t (dráha vs. čas) je rychlost rovna sklonu přímky. Průsečík dvou přímek ukazuje, kdy a kde se objekty setkojí.
Pozor na čtení grafů! Rychlost = sklon tangenty k křivce. V případě přímky je to jednoduche: Δs/Δt.
Z grafů čteme:
  • Graf I: Oba auta začínají z různých pozic
  • Graf II: Auto 1 začíná později (bod C)
  • Setkání = průsečík čar (body B a D)
  • Hledáme: rychlosti obou aut a parametry setkání

Krok 2: Základní vztahy pro grafy s-t

Proč tento vztah? V grafu s-t je rychlost sklon přímky. Pro prímku projídoucí body [t₁,s₁] a [t₂,s₂] je rychlost Δs/Δt.
$$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1}$$
Pro setkání: $s_1(t) = s_2(t)$ v čase $t_{setkání}$
Praktická analogie: Jako sledování dvou běžců na atletické dráze. Rychlejší běžec (strmejší sklon) nakonec dohoní pomalejšího - průsečík čar je moment dohánění!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Rychlosti aut (Graf I)

$$\text{Auto 1: } v_1 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{50\,\text{m} - 20\,\text{m}}{6\,\text{s} - 0\,\text{s}} = \frac{30\,\text{m}}{6\,\text{s}} = 5\,\text{m·s}^{-1}$$

$$\text{Auto 2: } v_2 = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{50\,\text{m} - 0\,\text{m}}{6\,\text{s} - 0\,\text{s}} = \frac{50\,\text{m}}{6\,\text{s}} = 8{,}33\,\text{m·s}^{-1}$$

Tip pro Graf I: Auto 1 začíná v pozici 20 m, ale je rychlejší. Auto 2 začíná z 0 m, ale jede pomaleji. Setkojí se v bodě B!
📐 Rychlosti aut (Graf II)

$$\text{Auto 1: } v_1 = \frac{50\,\text{km} - 0\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h} - 0{,}5\,\text{h}} = \frac{50\,\text{km}}{1\,\text{h}} = 50\,\text{km·h}^{-1}$$

$$\text{Auto 2: } v_2 = \frac{50\,\text{km} - 0\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h} - 0\,\text{h}} = \frac{50\,\text{km}}{1{,}5\,\text{h}} = 33{,}33\,\text{km·h}^{-1}$$

🔍 Pokročilé informace o bodech

Význam klíčových bodů:

  • Bod A: Počáteční pozice auta 1 (Graf I: t=0, s=20m)
  • Bod B: Setkání aut v Grafu I (t=6s, s=50m)
  • Bod C: Počátek pohybu auta 1 v Grafu II (t=0,5h, s=0)
  • Bod D: Setkání aut v Grafu II (t=1,5h, s=50km)

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď:
  • Graf I: Auto 1: 5 m·s⁻¹, Auto 2: 8,33 m·s⁻¹. Setkání: t = 6 s, s = 50 m
  • Graf II: Auto 1: 50 km·h⁻¹, Auto 2: 33,33 km·h⁻¹. Setkání: t = 1,5 h, s = 50 km
Kontrola rozumnosti: V obou grafech rychlejší auto nakonec dohoní pomalejší. To dává smysl - v Grafu I auto 2 má výho.push počáteční pozice, v Grafu II auto 1 začíná později.
Alternativní způsob: Můžeme sestavit rovnice pohybu:
Graf I: s₁(t) = 20 + 5t, s₂(t) = 8,33t
Setkání: 20 + 5t = 8,33t ⇒ t = 6 s
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnil graf, kdyby auto 1 mělo rychlost 10 m/s?
  • Proč se auta setkojí právě v těchto bodech?
  • Jak by vypadal graf v-t pro tuto situaci?
  • Co by se stalo, kdyby auto 1 začalo ještě později?