10. Automobil projel 1/4 dráhy rychlostí 90 km·h⁻¹ a 3/4 dráhy 75 km·h⁻¹

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Taková situace je typická při jízdě z města - krátký úsek rychle po obchvatu, pak dlouhý úsek pomaleji po městských silnicích. GPS navigace také počítá průměrné rychlosti pro odhad času příjezdu.

Zadání úlohy

Automobil projel 1/4 celkové dráhy rychlostí 90 km·h⁻¹ a zbývající část dráhy rychlostí 75 km·h⁻¹. Určete průměrnou rychlost v m·s⁻¹ a v km·h⁻¹. Nakreslete graf rychlosti a dráhy v závislosti na čase.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Dráha první části s₁ ¼ celkové dráhy -
Rychlost první části v₁ 90 km·h⁻¹
Rychlost druhé části v₂ 75 km·h⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Známe podíly dráhy (1/4 a 3/4) a rychlosti v každém úseku. Pro průměrnou rychlost potřebujeme celkový čas, který získáme sečtením časů v jednotlivých úsecích.
Pozor na jednotky! Rychlosti v km·h⁻¹, výsledek bude též v km·h⁻¹, pak převedeme na m·s⁻¹ dělením 3,6.
Dané hodnoty:
  • Dráha 1. úseku: s₁ = 1/4 × s
  • Rychlost 1. úseku: v₁ = 90 km·h⁻¹
  • Dráha 2. úseku: s₂ = 3/4 × s
  • Rychlost 2. úseku: v₂ = 75 km·h⁻¹
  • Hledáme: průměrnou rychlost v_p

Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Známe dráhy a rychlosti, ale neznáme časy. Nejprve vypočítáme časy ze vztahu t = s/v, pak průměrnou rychlost.
$$t_1 = \frac{s_1}{v_1}, \quad t_2 = \frac{s_2}{v_2}$$ $$v_p = \frac{s_{celk}}{t_{celk}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$$
Praktická analogie: Je to jako jízda z Prahy do Brna - krátký úsek rychle po dálnici, pak dlouhý úsek pomalu přes vesnice. Celkový čas není prostý součet, ale závisí na tom, jak dlouho trvají jednotlivé úseky!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Časy jednotlivých úseků

$$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{\frac{1}{4}s}{90} = \frac{s}{360}$$

$$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{\frac{3}{4}s}{75} = \frac{s}{100}$$

Tip: Všimněte si, že druhý úsek (3/4 dráhy) trvá více než 3× déle než první! To je klíčem k pochopení, proč průměrná rychlost není prostý průměr rychlostí.
📐 Konečný výpočet

$$t_{celkový} = \frac{s}{360} + \frac{s}{100} = \frac{5s + 18s}{1800} = \frac{23s}{1800}$$

$$v_p = \frac{s}{\frac{23s}{1800}} = \frac{1800}{23} = 78{,}26 \text{ km·h}^{-1}$$

$$v_p = \frac{78{,}26}{3{,}6} = 21{,}74 \text{ m·s}^{-1}$$

🔍 Pokročilé informace

Proč není průměrná rychlost (90+75)/2 = 82,5 km·h⁻¹?

Protože auto jelo pomaleji (75 km/h) mnohem déle než rychle (90 km/h). Pomalý úsek "převažuje" a snižuje celkovou průměrnou rychlost.

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď: Průměrná rychlost automobilu je 78,26 km·h⁻¹ = 21,74 m·s⁻¹.
Kontrola rozumnosti: Výsledek 78,26 km·h⁻¹ je mezi 75 a 90 km·h⁻¹, ale blíže k 75 km·h⁻¹, což dává smysl - touto rychlostí jel delší část cesty (3/4 vs 1/4).
Alternativní způsob: Můžeme vyjměnout s a počítat s konkrétní vzdáleností (např. 120 km):
s₁ = 30 km, s₂ = 90 km, t₁ = 1/3 h, t₂ = 1,2 h
v_p = 120/(1/3 + 1,2) = 120/1,533 = 78,26 km·h⁻¹
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnila průměrná rychlost, kdyby auto jelo 1/2 dráhy každou rychlostí?
  • Proč je průměrná rychlost blíže k nižší rychlosti 75 km/h?
  • V jakých praktických situacích se setkáváme s různými rychlostmi na různých úsecích?
  • Jak by vypadaly grafy v-t a s-t pro tento pohyb?