10. Automobil projel 1/4 dráhy rychlostí 90 km·h⁻¹ a 3/4 dráhy 75 km·h⁻¹
Kinematika - řešený příklad
Zadání úlohy
Automobil projel 1/4 celkové dráhy rychlostí 90 km·h⁻¹ a zbývající část dráhy rychlostí 75 km·h⁻¹. Určete průměrnou rychlost v m·s⁻¹ a v km·h⁻¹. Nakreslete graf rychlosti a dráhy v závislosti na čase.
Vstupní data
Veličina | Symbol | Hodnota | Jednotka |
---|---|---|---|
Dráha první části | s₁ | ¼ celkové dráhy | - |
Rychlost první části | v₁ | 90 | km·h⁻¹ |
Rychlost druhé části | v₂ | 75 | km·h⁻¹ |
Postup řešení
Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.
Krok 1: Analýza situace
- Dráha 1. úseku: s₁ = 1/4 × s
- Rychlost 1. úseku: v₁ = 90 km·h⁻¹
- Dráha 2. úseku: s₂ = 3/4 × s
- Rychlost 2. úseku: v₂ = 75 km·h⁻¹
- Hledáme: průměrnou rychlost v_p
Krok 2: Výběr rovnice
Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet
Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.
$$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{\frac{1}{4}s}{90} = \frac{s}{360}$$
$$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{\frac{3}{4}s}{75} = \frac{s}{100}$$
$$t_{celkový} = \frac{s}{360} + \frac{s}{100} = \frac{5s + 18s}{1800} = \frac{23s}{1800}$$
$$v_p = \frac{s}{\frac{23s}{1800}} = \frac{1800}{23} = 78{,}26 \text{ km·h}^{-1}$$
$$v_p = \frac{78{,}26}{3{,}6} = 21{,}74 \text{ m·s}^{-1}$$
🔍 Pokročilé informace
Proč není průměrná rychlost (90+75)/2 = 82,5 km·h⁻¹?
Protože auto jelo pomaleji (75 km/h) mnohem déle než rychle (90 km/h). Pomalý úsek "převažuje" a snižuje celkovou průměrnou rychlost.
Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď
s₁ = 30 km, s₂ = 90 km, t₁ = 1/3 h, t₂ = 1,2 h
v_p = 120/(1/3 + 1,2) = 120/1,533 = 78,26 km·h⁻¹
🤔 Metakognitivní otázky
- Jak by se změnila průměrná rychlost, kdyby auto jelo 1/2 dráhy každou rychlostí?
- Proč je průměrná rychlost blíže k nižší rychlosti 75 km/h?
- V jakých praktických situacích se setkáváme s různými rychlostmi na různých úsecích?
- Jak by vypadaly grafy v-t a s-t pro tento pohyb?