9. Petr šel 2 hodiny rychlostí 6 km·h⁻¹ a 1 hodinu 3 km·h⁻¹

Kinematika - řešený příklad

💡 Praktická aplikace: Výpočty průměrné rychlosti používají turisté při plánování výletů, sportovci při sledování tréninku, nebo GPS navigace při odhadování času cesty s různými rychlostmi na různých úsecích.

Zadání úlohy

Petr šel dvě hodiny rychlostí 6 km·h⁻¹ a potom jednu hodinu stoupal do kopce rychlostí 3 km·h⁻¹. Jaká byla jeho průměrná rychlost? Nakreslete graf závislosti rychlosti na čase a dráhy na čase.

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Doba chůze rovinou t₁ 2 hodiny
Rychlost chůze rovinou v₁ 6 km·h⁻¹
Doba stoupání t₂ 1 hodina
Rychlost stoupání v₂ 3 km·h⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace

Logika výběru: Jde o složený rovnoměrný pohyb - Petr se pohyboval různými rychlostmi v různých časových úsecích. Pro výpočet průměrné rychlosti musíme spočítat celkovou dráhu a celkový čas.
Pozor na jednotky! Rychlosti jsou v km·h⁻¹ a časy v hodinách - jednotky jsou konzistentní, převody nejsou potřeba.
Dané hodnoty:
  • Doba chůze rovinou: t₁ = 2 h
  • Rychlost chůze rovinou: v₁ = 6 km·h⁻¹
  • Doba stoupání: t₂ = 1 h
  • Rychlost stoupání: v₂ = 3 km·h⁻¹
  • Hledáme: průměrnou rychlost v_p

Krok 2: Výběr rovnice

Proč tuto rovnici? Průměrná rychlost se počítá jako celková dráha děleno celkovým časem. POZOR: není to aritmetický průměr rychlostí!
$$v_p = \frac{s_{celk}}{t_{celk}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$$
kde $s_1 = v_1 \cdot t_1$ a $s_2 = v_2 \cdot t_2$
Praktická analogie: Představte si, že jedete na výlet autem - polovinu cesty rychle po dálnici, polovinu pomalu městem. Průměrná rychlost není (rychlá + pomalá)/2, ale celková vzdálenost děleno celkovým časem!

Krok 3: Dosazení hodnot a výpočet

Dosadíme známé hodnoty do vybrané rovnice a vypočítáme výsledek.

📐 Dráhy jednotlivých úseků

$$s_1 = v_1 \times t_1 = 6 \times 2 = 12 \text{ km}$$

$$s_2 = v_2 \times t_2 = 3 \times 1 = 3 \text{ km}$$

Tip: Všimněte si, že v prvním úseku Petr ušel 4× více (12 km vs 3 km), i když šel jen 2× déle. To ovlivní výslednou průměrnou rychlost.
📐 Konečný výpočet

$$s_{celková} = s_1 + s_2 = 12 + 3 = 15 \text{ km}$$

$$t_{celkový} = t_1 + t_2 = 2 + 1 = 3 \text{ h}$$

$$v_p = \frac{15}{3} = 5 \text{ km·h}^{-1}$$

🔍 Pokročilé informace

Proč není průměrná rychlost (6+3)/2 = 4,5 km·h⁻¹?

Aritmetický průměr by platil pouze v případě, že by Petr šel v obou úsecích stejně dlouho. Ale protože šel rychleji po delší dobu, jeho průměrná rychlost je vyšší.

Krok 4: Kontrola výsledku a odpověď

Odpověď: Petrova průměrná rychlost byla 5 km·h⁻¹.
Za 3 hodiny ušel celkem 15 km.
Kontrola rozumnosti: Výsledek 5 km·h⁻¹ je logický - je mezi rychlostmi 3 a 6 km·h⁻¹, ale blíže k 6 km·h⁻¹, protože touto rychlostí šel déle (2 h vs 1 h).
Alternativní způsob: Můžeme použít vážený průměr rychlostí podle času: $$v_p = \frac{v_1 \cdot t_1 + v_2 \cdot t_2}{t_1 + t_2} = \frac{6 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{2 + 1} = \frac{15}{3} = 5 \text{ km·h}^{-1}$$
🤔 Metakognitivní otázky
  • Jak by se změnila průměrná rychlost, kdyby Petr stoupal 2 hodiny místo 1 hodiny?
  • Proč není průměrná rychlost prostý aritmetický průměr (6+3)/2?
  • V jakých praktických situacích potřebujeme počítat průměrnou rychlost?
  • Jak by vypadal graf v-t a s-t pro Petrův pohyb?