7. Cyklista s větrem v zádech a proti větru

Kinematika - řešený příklad

🚴 Praktická aplikace: Každý cyklista zná tento problém - když vítr fouká do zad, letíme jako na křídlech, ale na zpáteční cestě se plazíme proti větru jako šnek. Vítr dramaticky ovlivňuje naše rychlosti, a proto je důležité umět spočítat realistický čas celé cesty. Totéž platí pro lodní dopravu nebo leteckou!

Zadání úlohy

Cyklista jede do určitého místa s větrem v zádech rychlostí 8 m·s⁻¹ a nazpět proti větru rychlostí 4 m·s⁻¹. Jaká je jeho průměrná rychlost?

Vstupní data

Veličina Symbol Hodnota Jednotka
Rychlost cyklisty s větrem v₁ 8 m·s⁻¹
Rychlost cyklisty proti větru v₂ 4 m·s⁻¹

Postup řešení

Výpočet rozdělíme do několika logických kroků podle typu kinematické úlohy.

Krok 1: Analýza situace a převody jednotek

Cyklista jede stejnou dráhu tam i zpět, ale různými rychlostmi kvůli větru. Dráhy jsou sice stejné, ale časy budou různé!

Logika výběru: Cesta tam i zpět - to zná stejné dráhy, ale různé rychlosti. Pro průměrnou rychlost potřebujeme celkovou dráhu a celkový čas.
Pozor na častou chybu! Není to (8+4)/2 = 6 m/s! To by platilo jen při stejných časech jízdy, ale cyklista stráví více času jízdou proti větru.
Dané hodnoty:
  • Cesta tam: s₁ = s (neznámá), v₁ = 8 m/s
  • Cesta zpět: s₂ = s (stejná), v₂ = 4 m/s
  • Hledáme: průměrnou rychlost vₚ

Krok 2: Výběr fyzikální rovnice

Pro výpočet průměrné rychlosti na cestě tam a zpět potřebujeme určit časy na obou úsecích.

Proč tyto rovnice? Každý úsek je rovnoměrný pohyb (s = v·t), ale s různými rychlostmi. Čas získáme z t = s/v.
📐 Potřebné rovnice

$$t = \frac{s}{v} \text{ (čas na každé cestě)}$$

$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} \text{ (průměrná rychlost)}$$

Praktická analogie: Je to jako když řídíte do práce po dálnici (rychle) a zpět městem (pomalu). I když vzdálenosti jsou stejné, pomalá cesta zpět "váží" více ve výpočtu průměru.

Krok 3: Výpočet časů na obou cestách

Vypočítáme, jak dlouho trvá cesta tam (s větrem) a zpět (proti větru).

📐 Čas cesty tam (s větrem)

$$t_1 = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{8} \text{ s}$$

📐 Čas cesty zpět (proti větru)

$$t_2 = \frac{s}{v_2} = \frac{s}{4} \text{ s}$$

Tip pro pochopení: Cesta zpět trvá 2× déle než cesta tam (s/4 vs s/8). To ovlivní průměrnou rychlost!
🔍 Porovnání časů (rozbalovací sekce)
Analýza časů:
  • Cesta tam: t₁ = s/8 s
  • Cesta zpět: t₂ = s/4 s = 2×(s/8) s
  • Cyklista stráví dvakrát více času jízdou proti větru!

Krok 4: Výpočet průměrné rychlosti

Sečteme celkovou dráhu a celkový čas, pak vypočítáme průměrnou rychlost.

📐 Celková dráha a čas

$$s_{celková} = s + s = 2s$$

$$t_{celkový} = \frac{s}{8} + \frac{s}{4} = \frac{s + 2s}{8} = \frac{3s}{8} \text{ s}$$

📐 Průměrná rychlost

$$v_p = \frac{s_{celková}}{t_{celkový}} = \frac{2s}{\frac{3s}{8}} = 2s \cdot \frac{8}{3s} = \frac{16}{3} = 5{,}33 \text{ m·s}^{-1}$$

Krok 5: Kontrola výsledku a odpověď

Ověříme rozumnost výsledku a formulujeme konečnou odpověď.

Odpověď:

Průměrná rychlost cyklisty je 5,33 m·s⁻¹ (19,2 km/h).

Ověření: 5,33 m/s je mezi 4 a 8 m/s, blíže k nižší hodnotě (protože více času jel pomaleji) ✓

Kontrola rozumnosti: Průměrná rychlost 5,33 m/s je blíže k 4 m/s než k 8 m/s, což dává smysl - cyklista stráví dvakrát více času pomalou jízdou proti větru.
Alternativní způsob: Harmonic Mean: pro cesty se stejnou dráhou je vₚ = 2v₁v₂/(v₁+v₂) = 2×8×4/(8+4) = 64/12 = 5,33 m/s
🤔 Metakognitivní otázky (rozšířené přemýšlení)
  • Proč průměrná rychlost není aritmetický průměr (8+4)/2 = 6 m/s?
  • Jak by se změnil výsledek, kdyby byl vítr slabší (např. 7 a 5 m/s)?
  • Co by se stalo, kdyby cyklista jel proti větru rychleji než s větrem?
  • V jakých dalších situacích řešíme podobné úlohy (lodě, letadla)?
  • Proč harmonic mean dává správný výsledek pro stejné dráhy?